ลิมิตของลำดับอนันต์

พิจารณาคู่ลำดับต่อไปนี้



     พจน์ที่ 1
     พจน์ที่ 2
     พจน์ที่ 3
     พจน์ที่ 4
                  
     พจน์ที่ n
                  
เมื่อนำข้อมูลข้างต้นมาพล็อตกราฟ จะได้ดังรูปที่ 1

                               รูปที่ 1

รูปที่ 1 ด้านซ้ายมือเป็นการนำข้อมูลมาพล็อตให้อยู่ในแกน  แกนเดียว โดยแกน  คือค่าของลำดับ จะเห็นได้ว่าเมื่อ  มีค่ามากขึ้น ค่า  
จะมีค่าเข้าใกล้ 1

รูปที่ 1 ด้านขวามือเป็นการนำข้อมูลมาพล็อตในแกน  และแกน  โดยแกน  คือค่าของ  
แกน  คือค่าของลำดับ จะเห็นได้ว่า เมื่อ  มีค่ามากขึ้น ค่า  จะมีค่าเข้าใกล้ 1

จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถเขียนในรูปของลิมิตได้ดังนี้

           

• สำหรับกรณีทั่วไป เราสามารถเขียนลิมิตของลำดับอนันต์ได้ดังนี้

                    

     หมายถึง เมื่อ มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ   
 ลิมิตของลำดับ  มีค่าเท่ากับ 

ลิมิตของลำดับอนันต์

แบ่งเป็น 2 ประเภทได้แก่ ลิมิตที่หาค่าได้และลิมิตที่หาค่าไม่ได้

1. ถ้าลำดับอนันต์สามารถหาค่าลิมิตได้ เราจะเรียกลำดับนั้นว่า ลำดับลู่เข้า (และสามารถหาค่าลู่เข้าได้)

2. ถ้าลำดับอนันต์สามารถหาค่าลิมิตไม่ได้ เราจะเรียกลำดับนั้นว่า ลำดับลู่ออก (และไม่สามารถหาค่าลิมิตได้)
   

ตัวอย่างลำดับอนันต์

1. พิจารณาข้อมูลต่อไปนี้

	1	2	3	4	...
	3	3	3	3	3

วิธีทำ เมื่อนำข้อมูลมาพล็อตจะได้ดังรูปที่ 2


                              รูปที่ 2

จากข้อมูลในตารางและกราฟจะเห็นได้ว่า  มีค่า
เท่ากับ 3 เสมอสำหรับทุกค่าของ  เราสามารถเขียนลิมิตของลำดับได้ดังนี้  ดังนั้น ลำดับนี้ลู่เข้าสู่ 3

2. พิจารณาลำดับอนันต์ ว่าเป็นลำดับลู่เข้าหรือลู่ออก ถ้าเป็นลำดับลู่เข้าจะลู่เข้าสู่ค่าใด
วิธีทำ ลองแทนค่า  และ 
        ใน จะได้ผลดังตาราง

n	1	2	3	4	...
	0	1/2	-2/3	3/4	3

เมื่อนำข้อมูลมาพล็อตจะได้ดังรูปที่ 3

                              รูปที่ 3 

จากกราฟจะเห็นได้ว่าเมื่อ  มีค่ามากขึ้น ค่าของ  
แกว่งไปมาระหว่างค่าบวกและค่าลบ โดยไม่มีแนวโน้มจะลู่เข้าสู่ค่าใดๆ ดังนั้น ลำดับนี้เป็นลำดับลู่ออก