อนุกรมและอนุกรมเลขคณิต

อนุกรม คือ ผลบวกของลำดับ นั่นคือ จาก
ลำดับจำกัด $a subscript 1 comma a subscript 2 comma a subscript 3 comma a subscript 4 comma... comma a subscript n minus 1 end subscript comma a subscript n$
ถ้านำแต่ละพจน์มาบวกกัน $a subscript 1 plus a subscript 2 plus a subscript 3 plus a subscript 4 plus... plus a subscript n minus 1 end subscript plus a subscript n$
ซึ่งสามารถเขียนในรูป $sum from i equals 1 to n of a subscript i$ เรียกผลรวมนี้ว่า อนุกรม

ตัวอย่างของอนุกรมจำกัด

1. space 1 space plus space 3 space plus space 5 space plus space 7 space plus space 9

2. space 1 plus 1 fifth plus 1 over 25 plus 1 over 125 plus 1 over 625

อนุกรมเลขคณิต: ให้ลำดับ $a subscript 1 comma a subscript 2 comma a subscript 3 comma a subscript 4 comma... comma a subscript n minus 1 end subscript comma a subscript n$ เป็นลำดับเลขคณิต อนุกรมที่เกิดจากผลรวมของลำดับเลขคณิตจะเรียกว่า อนุกรมเลขคณิต

ในกรณีทั่วไป เราสามารถหาค่าของอนุกรมเลขคณิต
ได้ดังนี้ ให้

s subscript n

แทนผลรวมของ

n

พจน์ เราสามารถ
เขียนพจน์ของอนุกรมเลขคณิตได้ดังนี้

begin mathsize 14px style s subscript n equals a subscript 1 plus a subscript 2 plus a subscript 3 plus horizontal ellipsis plus a subscript n minus 1 end subscript plus a subscript n space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals a subscript 1 plus open parentheses a subscript 1 plus d close parentheses plus open parentheses a subscript 1 plus 2 d close parentheses plus... space space space space space space space space space plus left parenthesis a subscript 1 plus left parenthesis n minus 2 right parenthesis d right parenthesis plus left parenthesis a subscript 1 plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis d right parenthesis space space space space space space space space space space left parenthesis 1 right parenthesis end style

หรือสามารถเขียนอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

begin mathsize 14px style s subscript n equals a subscript n plus a subscript n minus 1 end subscript plus a subscript n minus 2 end subscript plus horizontal ellipsis plus a subscript 2 plus a subscript 1 space space space space equals a subscript n plus open parentheses a subscript n minus d close parentheses plus open parentheses a subscript n minus 2 d close parentheses plus... space space space space space space space space plus left parenthesis a subscript n minus left parenthesis n minus 2 right parenthesis d right parenthesis plus left parenthesis a subscript n minus left parenthesis n minus 1 right parenthesis d right parenthesis space space space space space space space left parenthesis 2 right parenthesis end style

นำสมการ (1) บวกสมการ (2) จะได้

begin mathsize 14px style 2 s subscript n equals stack left parenthesis a subscript 1 plus a subscript n right parenthesis plus left parenthesis a subscript 1 plus a subscript n right parenthesis plus left parenthesis a subscript 1 plus a subscript n right parenthesis plus... plus left parenthesis a subscript 1 plus a subscript n right parenthesis plus left parenthesis a subscript 1 plus a subscript n right parenthesis with underbrace below space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space n space t e r m s 2 s subscript n equals n open parentheses a subscript 1 plus a subscript n close parentheses end style

ดังนั้น

size 14px s subscript size 14px n size 14px equals size 14px n over size 14px 2 open parentheses size 14px a subscript size 14px 1 size 14px plus size 14px a subscript size 14px n close parentheses

หรือสามารถเขียน

begin mathsize 14px style s subscript n end style

ในรูปของ

begin mathsize 14px style a subscript 1 end style

และ

begin mathsize 14px style d end style

โดยจาก

begin mathsize 14px style a subscript n equals a subscript 1 plus open parentheses n minus 1 close parentheses d end style

จะได้

begin mathsize 14px style s subscript n equals n over 2 left parenthesis a subscript 1 plus left parenthesis a subscript 1 plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis d right parenthesis space space space space equals n over 2 left parenthesis 2 a subscript 1 plus open parentheses n minus 1 close parentheses d right parenthesis end style

ดังนั้น ผลรวมพจน์ที่

n

ของอนุกรมเลขคณิตคือ

size 14px s subscript size 14px n size 14px equals size 14px n over size 14px 2 open parentheses size 14px a subscript size 14px 1 size 14px plus size 14px a subscript size 14px n close parentheses

หรือ

begin mathsize 14px style s subscript n equals n over 2 open square brackets 2 a subscript 1 plus open parentheses n minus 1 close parentheses d close square brackets end style

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของอนุกรมเลขคณิต
$negative 1 third plus 1 third plus 1 plus 5 over 3 plus 7 over 3 plus... plus 29 over 3$

วิธีทำ จากอนุกรมเลขคณิตจะได้

begin mathsize 14px style a subscript 1 equals negative 1 third end style

และ

begin mathsize 14px style d equals 1 third minus open parentheses negative 1 third close parentheses equals 2 over 3 end style

จาก

begin mathsize 14px style a subscript n equals a subscript 1 plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis d end style

แทนค่า

begin mathsize 14px style a subscript 1 equals negative 1 third comma space d equals 2 over 3 end style

และ

begin mathsize 14px style a subscript n equals 29 over 3 end style

จะได้

begin mathsize 14px style 29 over 3 equals 1 third plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis 2 over 3 end style

begin mathsize 14px style n equals open parentheses 29 over 3 minus 1 third close parentheses times 3 over 2 space n equals 14 end style

ดังนั้น เราสามารถหาผลบวก

s subscript 14

จากสูตร

begin mathsize 14px style s subscript n equals n over 2 open parentheses a subscript 1 plus a subscript n close parentheses end style

จะได้

size 14px s subscript size 14px 14 size 14px equals size 14px 14 over size 14px 2 open parentheses size 14px minus size 14px 1 over size 14px 3 size 14px plus size 14px 29 over size 14px 3 close parentheses size 14px space size 14px space size 14px space size 14px space size 14px space size 14px space size 14px equals size 14px 7 open parentheses size 14px 28 over size 14px 3 close parentheses size 14px space size 14px space size 14px space size 14px space size 14px space size 14px space size 14px equals size 14px 196 over size 14px 3

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวกของเลขคี่ตั้งแต่ $begin mathsize 14px style 17 end style$ ถึง $begin mathsize 14px style 379 end style$

วิธีทำ เนื่องจาก

begin mathsize 14px style 17 plus 19 plus 21 plus... plus 379 end style

เป็นอนุกรมเลขคณิตโดย

begin mathsize 14px style a subscript 1 equals 17 end style

และ

begin mathsize 14px style d equals 2 end style

จาก

size 14px a subscript size 14px n size 14px equals size 14px a subscript size 14px 1 size 14px plus size 14px left parenthesis size 14px n size 14px minus size 14px 1 size 14px right parenthesis size 14px d

แทนค่า

size 14px a subscript size 14px 1 size 14px equals size 14px 17

begin mathsize 14px style a subscript n equals 379 end style

และ

begin mathsize 14px style d equals 2 end style

จะได้

begin mathsize 14px style 379 equals 17 plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis 2 space space space space n equals fraction numerator 379 minus 17 over denominator 2 end fraction plus 1 space space space space space space equals 182 end style

จาก

begin mathsize 14px style n equals 182 end style

แทนค่าในสูตร

begin mathsize 14px style s subscript n equals n over 2 open parentheses a subscript 1 plus a subscript n close parentheses end style

จะได้

begin mathsize 14px style s subscript 182 equals 182 over 2 open parentheses 17 plus 379 close parentheses space space space space space space equals 36 comma 036 end style

อนุกรม/อนุกรมเลขคณิต

แบบฝึกหัด

อนุกรม/อนุกรมเลขคณิต (ชุดที่ 1)

อนุกรม/อนุกรมเลขคณิต (ชุดที่ 2)

อนุกรม/อนุกรมเลขคณิต (ชุดที่ 3)

เนื้อหา

อนุกรมและอนุกรมเลขคณิต

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ