ลำดับเลขคณิต

พิจารณาลำดับ 1, 3, 5, 7, 9 สังเกตว่า
ถ้านำพจน์หลังลบด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกัน
จะมีค่าเท่ากับ 2
เช่น 3 – 1 =2,5 – 3 = 2, 7 – 5 = 2 เป็นต้น

ลำดับที่มีค่าผลต่างที่ได้จากการนำพจน์ที่ $n$
ลบด้วยพจน์ที่ $n minus 1$ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น
ค่าคงที่เสมอ เราจะเรียกลำดับนั้นว่า
ลำดับเลขคณิต (arithmetic sequence)
และเรียกผลต่างที่เป็นค่าคงที่นั้นว่า
ผลต่างร่วม (Common difference)

ในกรณีทั่วไปของลำดับเลขคณิต: ให้

a subscript 1

เป็นพจน์แรก และ

d equals a subscript n minus a subscript n minus 1 end subscript

เป็นผลต่างร่วม เราสามารถหาพจน์อื่นๆ ของลำดับเลขคณิตได้ดังนี้

begin mathsize 12px style a subscript 1 a subscript 2 equals a subscript 1 plus d a subscript 3 equals a subscript 2 plus d equals left parenthesis a subscript 1 plus d right parenthesis plus d equals a subscript 1 plus 2 d a subscript 4 equals a subscript 3 plus d equals left parenthesis a subscript 1 plus 2 d right parenthesis plus d equals a subscript 1 plus 3 d vertical ellipsis a subscript n equals a subscript n minus 1 end subscript plus d equals left parenthesis a subscript 1 plus left parenthesis n minus 2 right parenthesis d right parenthesis plus d equals a subscript 1 plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis d end style

ดังนั้นพจน์ที่

n

ของลำดับเลขคณิตคือ

begin mathsize 14px style a subscript n equals a subscript 1 plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis d end style

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ที่ 65 และพจน์ที่

n

ของลำดับ
เลขคณิต

2 over 3 comma 1 comma 4 over 3 comma 5 over 3 comma 2 comma... comma a subscript n

วิธีทำ จากลำดับเลขคณิต

2 over 3 comma 1 comma 4 over 3 comma 5 over 3 comma 2 comma...

จะได้

a subscript 1 equals 2 over 3

และ

d equals 1 minus 2 over 3 equals 1 third

หาพจน์ที่ 65: จาก

begin mathsize 14px style a subscript n equals a subscript 1 plus left parenthesis n minus 1 right parenthesis d end style

แทนค่า

a subscript 1 equals 2 over 3

d equals 1 third

และ

n equals 65

จะได้

begin mathsize 14px style a subscript 65 equals 2 over 3 plus left parenthesis 65 minus 1 right parenthesis 1 third equals 2 over 3 plus left parenthesis 64 right parenthesis 1 third equals 66 over 3 equals 22 end style

หาพจน์ที่

n

: จาก

size 14px a subscript size 14px n size 14px equals size 14px a subscript size 14px 1 size 14px plus size 14px left parenthesis size 14px n size 14px minus size 14px 1 size 14px right parenthesis size 14px d

แทนค่า

a subscript 1 equals 2 over 3

d equals 1 third

จะได้

size 14px a subscript size 14px n size 14px equals size 14px 2 over size 14px 3 size 14px plus size 14px left parenthesis size 14px n size 14px minus size 14px 1 size 14px right parenthesis size 14px 1 over size 14px 3 size 14px equals 1 over size 14px 3 size 14px plus n over size 14px 3 size 14px equals 1 over size 14px 3 size 14px left parenthesis size 14px n size 14px plus size 14px 1 size 14px right parenthesis

ตัวอย่างที่ 2 ถ้า 3 และ 23 เป็นพจน์ของลำดับเลขคณิต
โดย 3 เป็นพจน์แรกและ 23 เป็นพจน์ที่หก
จงหาพจน์ที่สองถึงพจน์ที่ห้าของลำดับ
เลขคณิตนี้

วิธีทำ จากโจทย์จะได้

a subscript 1 equals 3

และ

a subscript 6 equals 23

จาก

size 14px a subscript size 14px n size 14px equals size 14px a subscript size 14px 1 size 14px plus size 14px left parenthesis size 14px n size 14px minus size 14px 1 size 14px right parenthesis size 14px d

แทนค่า

a subscript 1 equals 3

a subscript 6 equals 23

และ

n equals 6

จะได้

size 14px a subscript size 14px n size 14px equals size 14px a subscript size 14px 1 size 14px plus size 14px left parenthesis size 14px n size 14px minus size 14px 1 size 14px right parenthesis size 14px d

23 equals 3 plus left parenthesis 6 minus 1 right parenthesis d

d equals fraction numerator 23 minus 3 over denominator 6 minus 1 end fraction equals 20 over 5 equals 4

ดังนั้น

a subscript 2 equals a subscript 1 plus d space equals 3 plus 4 equals 7

space a subscript 3 equals a subscript 2 plus d equals 7 plus 4 space

a subscript 4 equals 11 plus 4 equals 15 space

a subscript 5 equals 15 plus 4 equals 19

ลำดับเลขคณิต

แบบฝึกหัด