อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตเกิดจากผลรวมของลำดับเรขาคณิต

พิจารณาลำดับ 1, 5, 25, 125, 625 เป็นลำดับเรขาคณิต
โดยมี 5 เป็นอัตราส่วนร่วมและ 5 เป็นอัตราส่วนร่วมของ
อนุกรมเรขาคณิตด้วย

ในกรณีทั่วไปสามารถหาผลรวมของลำดับเรขาคณิต (หาค่าอนุกรมเรขาคณิต):
ให้

a subscript 1 comma a subscript 2 comma a subscript 3 comma a subscript 4 comma... comma a subscript n minus 1 end subscript comma a subscript n

เป็นพจน์ของ
ลำดับเรขาคณิตและ

r equals a subscript n over a subscript n minus 1 end subscript

เป็นอัตราส่วนร่วม
เราสามารถเขียนพจน์อื่นๆ ของอนุกรมเรขาคณิตในรูปของ

a subscript 1

และ

r

ได้ดังนี้

begin mathsize 14px style S subscript 1 equals a subscript 1 S subscript 2 equals a subscript 1 plus a subscript 2 equals a subscript 1 plus a subscript 1 r S subscript 3 equals s subscript 2 plus a subscript 3 equals open parentheses a subscript 1 plus a subscript 1 r close parentheses plus a subscript 1 r squared vertical ellipsis S subscript n equals S subscript n minus 1 end subscript plus a subscript n equals a subscript 1 plus a subscript 1 r plus a subscript 1 r squared plus... plus a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent space space space space open parentheses 1 close parentheses end style

.............................................................

r

คูณสมการ (1) ตลอดทั้งสมการจะได้

begin mathsize 14px style r S subscript n equals a subscript 1 r plus a subscript 1 r squared plus a subscript 1 r cubed plus... plus a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent plus a subscript 1 r to the power of n space space space space space space space open parentheses 2 close parentheses end style

นำสมการ (1) ลบสมการ (2)

begin mathsize 14px style S subscript straight n minus r S subscript straight n equals a subscript 1 minus a subscript 1 straight r to the power of straight n straight S subscript straight n open parentheses 1 minus r close parentheses equals a subscript 1 open parentheses 1 minus r to the power of n close parentheses space space space space space space space space space S subscript straight n equals fraction numerator a subscript 1 left parenthesis 1 minus straight r to the power of straight n right parenthesis over denominator 1 minus straight r end fraction comma straight r not equal to 1 end style

หรือสามารถเขียน

s subscript n

ในพจน์ของ

a subscript 1

และ

a subscript n

ได้ดังนี้
เนื่องจาก

a subscript n equals a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent

หรือ

r a subscript n equals a subscript 1 r to the power of n

ดังนั้น

S subscript n equals fraction numerator a subscript 1 minus r a subscript n over denominator 1 minus r end fraction comma r not equal to 1

ดังนั้นผลรวมพจน์ที่

n

ของอนุกรมเรขาคณิตคือ

space S subscript straight n equals fraction numerator a subscript 1 left parenthesis 1 minus straight r to the power of straight n right parenthesis over denominator 1 minus straight r end fraction comma straight r not equal to 1

หรือ

S subscript n equals fraction numerator a subscript 1 minus r a subscript n over denominator 1 minus r end fraction comma r not equal to 1

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลรวมของ 4 พจน์แรกและผลรวม
ของทุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต
$2 over 3 text , end text 4 over 9 text , end text 8 over 27 text ,..., end text fraction numerator 256 over denominator 19 comma 683 end fraction$

วิธีทำ จากลำดับเรขาคณิต

2 over 3 text , end text 4 over 9 text , end text 8 over 27 text ,..., end text fraction numerator 256 over denominator 19 comma 683 end fraction

จะได้

a subscript 1 equals 2 over 3

และ

r equals fraction numerator begin display style 4 divided by 9 end style over denominator begin display style 2 divided by 3 end style end fraction equals 4 over 9 times 3 over 2 equals 2 over 3

หาผลรวมของ $4$ พจน์แรก: จาก

space S subscript straight n equals fraction numerator a subscript 1 left parenthesis 1 minus straight r to the power of straight n right parenthesis over denominator 1 minus straight r end fraction comma straight r not equal to 1

แทนค่า

a subscript 1 equals 2 over 3

r equals 2 over 3

และ

n equals 4

จะได้

S subscript n equals fraction numerator begin display style 2 over 3 end style open parentheses 1 minus open parentheses begin display style 2 over 3 end style close parentheses to the power of 4 close parentheses over denominator 1 minus begin display style 2 over 3 end style end fraction equals fraction numerator begin display style 2 over 3 end style open parentheses 1 minus begin display style 16 over 81 end style close parentheses over denominator begin display style 1 third end style end fraction equals 130 over 81

หาผลรวมของทุกพจน์: จาก

S subscript n equals fraction numerator a subscript 1 minus r a subscript n over denominator 1 minus r end fraction comma r not equal to 1

แทนค่า

a subscript 1 equals 2 over 3

a subscript n equals fraction numerator 256 over denominator 19 comma 683 end fraction

r equals 2 over 3

จะได้
ผลรวมของทุกพจน์

equals fraction numerator begin display style 2 over 3 end style minus begin display style 2 over 3 end style open parentheses begin display style fraction numerator 256 over denominator 19 comma 683 end fraction end style close parentheses over denominator 1 minus begin display style 2 over 3 end style end fraction

equals fraction numerator 38 comma 854 over denominator 19 comma 683 end fraction

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของอนุกรมเรขาคณิต
$begin mathsize 14px style negative 1 plus 3 minus 9 plus... plus left parenthesis negative 729 right parenthesis end style$

วิธีทำ จากโจทย์จะได้

a subscript 1 equals negative 1 space comma space a subscript n equals negative 729

และ

r equals fraction numerator 3 over denominator negative 1 end fraction equals negative 3

แทนค่าในสูตร

S subscript n equals fraction numerator a subscript 1 minus r a subscript n over denominator 1 minus r end fraction

ผลรวมของทุกพจน์

equals fraction numerator negative 1 minus open parentheses negative 3 close parentheses open parentheses negative 729 close parentheses over denominator 1 minus open parentheses negative 3 close parentheses end fraction

equals fraction numerator negative 2 comma 188 over denominator 4 end fraction

equals negative 547

อนุกรมเรขาคณิต

แบบฝึกหัด