ลำดับเรขาคณิต

พิจารณาลำดับ $1 comma space 5 comma space 25 comma space 125 comma space 625$ สังเกตว่า
ถ้านำพจน์หลังหารด้วยพจน์หน้าที่อยู่ติดกันจะมีค่าเท่ากับ 5
เช่น $5 over 1 equals 25 over 5 equals 125 over 25 equals 625 over 125 equals 5$ เป็นต้น

ลำดับที่มีค่าผลหารที่ได้จากการนำพจน์ที่ $n$
หารด้วยพจน์ที่ $n minus 1$ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น
ค่าคงที่เสมอ เราจะเรียกลำดับนั้นว่า
ลำดับเรขาคณิต (geometric sequence)
และเรียกผลต่างที่เป็นค่าคงที่นั้นว่า
อัตราส่วนร่วม (Common ratio)

ในกรณีทั่วไปของลำดับเรขาคณิต: ให้

a subscript 1 comma a subscript 2 comma a subscript 3 comma a subscript 4 comma horizontal ellipsis comma a subscript n minus 1 comma end subscript a subscript n

เป็นพจน์ของ
ลำดับเรขาคณิต และ

r equals a subscript n over a subscript n minus 1 end subscript

เป็นอัตราส่วนร่วม
เราสามารถเขียนพจน์อื่นๆ ของ ลำดับเรขาคณิตในรูปของ

a subscript 1

และ

r

ได้ดังนี้

a subscript 1 a subscript 2 equals a subscript 1 r a subscript 3 equals a subscript 2 r equals left parenthesis a subscript 1 r right parenthesis r space space equals a subscript 1 r squared a subscript 4 equals a subscript 3 r equals left parenthesis a subscript 1 r squared right parenthesis r space space equals a subscript 1 r cubed space space space space space space vertical ellipsis a subscript n equals a subscript n minus 1 end subscript r equals left parenthesis a subscript 1 r to the power of n minus 2 end exponent right parenthesis r space space equals a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent

ดังนั้น พจน์ที่

n

ของลำดับเรขาคณิตคือ

a subscript n equals a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent

ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ที่ $6$ และพจน์ที่ $n$ ของลำดับเรขาคณิต $1 comma 0.25 comma 0.0625 comma... comma a subscript n$

วิธีทำ จากลำดับเรขาคณิต

1 comma 0.25 comma 0.0625 comma...

จะได้

a subscript 1 equals 1

และ

r equals fraction numerator 0.25 over denominator 1 end fraction equals fraction numerator 0.0625 over denominator 0.25 end fraction equals 0.25 equals 1 fourth

หาพจน์ที่ 6: จาก

a subscript n equals a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent

แทนค่า

a subscript 1 equals 1

r equals 1 fourth

และ

n equals 6

จะได้

a subscript 6 equals 1 left parenthesis 1 fourth right parenthesis to the power of 6 equals 1 over 4096 almost equal to 0.0002441

หาพจน์ที่

n

: จาก

a subscript n equals a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent

แทนค่า

a subscript 1 equals 1

r equals 1 fourth

จะได้

a subscript n equals 1 left parenthesis 1 fourth right parenthesis to the power of n minus 1 end exponent

ตัวอย่างที่ 2

729

เป็นพจน์ที่เท่าไรของลำดับเรขาคณิต

negative 3 comma space 9 comma space minus 27 comma space horizontal ellipsis comma a subscript n

วิธีทำ จากโจทย์จะได้

begin mathsize 14px style a subscript 1 equals negative 3 end style

และ

begin mathsize 14px style r equals fraction numerator 9 over denominator negative 3 end fraction equals fraction numerator negative 27 over denominator 9 end fraction equals negative 3 end style

จาก

begin mathsize 14px style a subscript n equals a subscript 1 r to the power of n minus 1 end exponent end style

แทนค่า

begin mathsize 14px style a subscript n equals 729 end style

begin mathsize 14px style a subscript 1 equals negative 3 end style

และ

begin mathsize 14px style r equals negative 3 end style

จะได้

begin mathsize 14px style space space space space space space space space space space space space space 729 equals left parenthesis negative 3 right parenthesis left parenthesis negative 3 right parenthesis to the power of n minus 1 end exponent left parenthesis negative 3 right parenthesis to the power of n minus 1 end exponent equals fraction numerator 729 over denominator negative 3 end fraction equals negative 243 equals left parenthesis negative 3 right parenthesis to the power of 5 space space space space space space space space space space space space n minus 1 equals 5 space rightwards double arrow n equals 6 end style

ดังนั้น

begin mathsize 14px style 729 end style

เป็นพจน์ที่

begin mathsize 14px style 6 end style

ของลำดับเรขาคณิตนี้

ลำดับเรขาคณิต

แบบฝึกหัด