ลำดับ (Sequences)

ลำดับ

ลำดับ คือ สิ่งต่าง ๆ ที่นำมาจัดเรียงแบบมีความสัมพันธ์
ที่สืบเนื่องกัน

ตัวอย่าง 1 พิจารณาแบบรูปดังต่อไปนี้

จากแบบรูป พบว่า ลำดับของรูปและจำนวนจุดในรูป
มีความสัมพันธ์กันดังนี้

รูปที่	1	2	3	4	5
จำนวนจุด	1	3	6	10	15

ดังนั้น รูปและจำนวนจุดในแต่ละรูป คือ ลำดับ เพราะรูปและจำนวนจุดในรูปถัดไปมีความสัมพันธ์กับรูปและจำนวนจุดในรูปก่อนหน้า หรืออาจกล่าวได้ว่า
ลำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนคือ (ลำดับของรูป)
และมีเรนจ์คือ (จำนวนจุดในแต่ละรูป)

ตัวอย่าง 2 พิจารณาเหตุการณ์ต่อไปนี้

” สถานีวิทยุแห่งหนึ่ง ให้ผู้ฟังรายการส่งข้อความสั้นๆ (SMS) มาที่รายการเพื่อตอบคำถามในแต่ละวัน ท่านแรกที่ตอบถูกจะได้รางวัลเป็นเงินรางวัล 100 บาท ถ้าไม่มีใครตอบถูก เงินรางวัลจะเพิ่มขึ้นในทุกๆ วันถัดไปอีก 100 บาท”

จำนวนวันและเงินรางวัลมีความสัมพันธ์กันดังนี้
วันที่ 1 2 3 4 ... n ...

จำนวน
เงินรางวัล 100 200 300 400 … 100 n …
ที่ตอบถูก

จากความสัมพันธ์ข้างต้น พบว่า
จำนวนเงินรางวัลจะเพิ่มขึ้นตามจำนวนวันที่เพิ่มขึ้น
ดังนั้นเหตุการณ์ข้างต้นเป็น ลำดับ
มีโดเมน คือ {1,2,3,..}
มีเรนจ์ คือ {100,200,300,...}

จากกแนวคิดดังกล่าวนี้ เราจะนำมานิยามลำดับได้
ดังบทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม ลำดับ (sequence) คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจำนวนเต็มบวกหรือสับเซตของจำนวนเต็มบวก

ถ้าลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตจำกัด คือ {1,2,3,..., $n$ }
จะเรียกว่า ลำดับจำกัด (finite sequence)

ถ้าลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวก {1,2,3,...} จะเรียกว่า ลำดับอนันต์ (Infinite sequence)

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาฟังก์ชันต่อไปนี้

f equals left curly bracket left parenthesis 1 comma 2 right parenthesis right curly bracket comma left parenthesis 2 comma 4 right parenthesis comma left parenthesis 3 comma 6 right parenthesis comma left parenthesis 4 comma 8 right parenthesis comma left parenthesis 5 comma 10 right parenthesis right curly bracket

โดเมนของฟังก์ชัน คือ

left curly bracket 1 comma 2 comma 3 comma 4 comma 5 right curly bracket

เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ

left curly bracket 2 comma 4 comma 6 comma 8 comma 10 right curly bracket

ดังนั้น

f

เป็นลำดับจำกัด
ซึ่งมีลำดับเป็น

2 comma 4 comma 6 comma 8 comma 10

f equals left curly bracket left parenthesis 1 comma 1 right parenthesis comma left parenthesis 2 comma 3 right parenthesis comma left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis comma... comma left parenthesis n comma 2 n minus 1 right parenthesis comma... right curly bracket

โดเมนของฟังก์ชัน คือ

left curly bracket 1 comma 2 comma 3 comma... comma n comma... right curly bracket

เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ

left curly bracket 1 comma 3 comma 5 comma... comma 2 n minus 1 comma... right curly bracket

ดังนั้น

f

เป็นลำดับอนันต์
ซึ่งมีลำดับเป็น

1 comma 3 comma 5 comma... comma 2 n minus 1 comma...

การเขียนลำดับ

ในการเขียนลำดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์ ได้ 2 รูปแบบ ดังนี้

1. การเขียนลำดับในรูป

a subscript 1 comma a subscript 2 comma a subscript 3 comma... a subscript n comma...

เรียกว่า การเขียนลำดับแบบแจกแจงพจน์ จุด 3 จุด
แสดงว่า ลำดับนี้มีพจน์ต่อไปอีกอย่างไม่สิ้นสุด
เรียก $a subscript 1$ ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ
$a subscript 2$ ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ
$a subscript 3$ ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ
$vertical ellipsis$
$a subscript n$ ว่า พจน์ที่ $n$ หรือพจน์ทั่วไป
(General term) ของลำดับ

ตัวอย่าง 4

4.1

1 half comma 2 over 3 comma 3 over 4 comma 4 over 5

เป็นลำดับจำกัด ที่มี

a subscript 1 equals 1 half

ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ

a subscript 2 equals 2 over 3

ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ

a subscript 3 equals 3 over 4

ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ

a subscript 4 equals 4 over 5

ว่า พจน์ที่ 4 ของลำดับ
และ พจน์ทั่วไป คือ

a subscript n equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction

4.2

negative 2 over 3 comma 3 over 9 comma negative 4 over 16 comma 5 over 25 comma...

เป็นลำดับอนันต์ ที่มี

a subscript 1 equals negative 2 over 3

ว่า พจน์ที่ 1 ของลำดับ

a subscript 2 equals 3 over 9

ว่า พจน์ที่ 2 ของลำดับ

a subscript 3 equals negative 4 over 27

ว่า พจน์ที่ 3 ของลำดับ

a subscript 4 equals 5 over 81

ว่า พจน์ที่ 4 ของลำดับ
และ พจน์ทั่วไป คือ

a subscript n equals fraction numerator n plus 1 over denominator 3 to the power of n end fraction

2. การเขียนลำดับในรูป

a subscript n equals f left parenthesis n right parenthesis

เมื่อ แทนสมาชิกของจำนวนเต็มบวก

เรียกว่า การเขียนลำดับในรูปพจน์ทั่วไปพร้อมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน ตัวอย่างเช่น

ลำดับ $1 half comma 2 over 3 comma 3 over 4 comma 4 over 5$
อาจจะเขียนแทนด้วย $a subscript n equals fraction numerator n over denominator n plus 1 end fraction$
เมื่อ $n element of left curly bracket 1 comma 2 comma 3 comma 4 right curly bracket$
ลำดับ $negative 2 over 3 comma 3 over 9 comma negative 4 over 16 comma 5 over 25 comma...$
อาจจะเขียนแทนด้วย $a subscript n space end subscript equals fraction numerator n plus 1 over denominator 3 to the power of n end fraction$
เมื่อ $n$ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก

หมายเหตุ ในกรณีที่กำหนดลำดับโดยพจน์ทั่วไป ถ้าไม่ได้ระบุสมาชิกในโดเมน ให้ถือว่าลำดับนั้นเป็นลำดับอนันต์

ตัวอย่าง 5

จงหาสี่พจน์แรกของลำดับ

a subscript n equals 4 n plus 3

วิธีทำ

a subscript 1 equals 4 left parenthesis 1 right parenthesis plus 3 equals 7

a subscript 2 equals 4 left parenthesis 2 right parenthesis plus 3 equals 11

a subscript 3 equals 4 left parenthesis 3 right parenthesis plus 3 equals 15

a subscript 4 equals 4 left parenthesis 4 right parenthesis plus 3 equals 19

ดังนั้น สี่พจน์แรกของลำดับนี้ คือ

7 comma 11 comma 15 comma 19

ความหมายลำดับ

แบบฝึกหัด

ความหมายลำดับ

ความหมายลำดับ

ความหมายลำดับ

เนื้อหา

ลำดับ (Sequences)