ไฮเพอร์โบลา

นิยามทางคณิตศาสตร์ของไฮเพอร์โบลา

(Wikipedia.org)

ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบ ซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดจุดหนึ่งกับจุดตรึงทั้ง 2 จุด (จุด $F subscript 1$ และ $F subscript 2$ ) จะเป็นค่าคงตัวที่เท่ากันเสมอ ซึ่งจุด $F subscript 1$ และ $F subscript 2$ จะเรียกว่า จุดโฟกัส

ข้อสังเกต : นิยามของไฮเพอร์โบลา กับนิยามของวงรี จะคล้ายกัน ต่างกันที่ วงรีจะนิยามที่ผลบวก ส่วนไฮเพอร์โบลาจะนิยามที่ผลต่าง ซึ่งรูปร่างของกราฟไฮเพอร์โบลาและวงรีจะมีลักษณะต่างกันโดยสิ้นเชิง

ส่วนประกอบของไฮเพอร์โบลา

(encycolpediaofmath.org)

จุด $F subscript 1 comma F subscript 2$ : โฟกัส

(a,0), (-a,0) : จุดยอด

จุดกึ่งกลางแกนตามขวาง : จุดศูนย์กลางของไฮเพอร์โบลา

ส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดยอด: แกนตามขวาง ความยาว

2 a

ส่วนของเส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งแกนตามขวาง : แกนสังยุค ความยาว

2 b

เส้นประ : เส้นกำกับของไฮเพอร์โบลา

สี่เหลี่ยม : รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง

จำแนกลักษณะของไฮเพอร์โบลาได้ดังนี้

สมการมาตรฐานของ ไฮเพอร์โบลา	$x squared over a squared minus y squared over b squared equals 1$
จุดศูนย์กลางของ ไฮเพอร์โบลา	$open parentheses 0 comma 0 close parentheses$
จุดยอดของไฮเพอร์โบลา	$open parentheses a comma 0 close parentheses comma open parentheses negative a comma 0 close parentheses$
แกนตามขวาง	แกน $X$ ความยาว $2 a$
แกนสังยุค	แกน $Y$ ความยาว $2 b$
เส้นกำกับ	$y equals plus-or-minus b over a x$
โฟกัส	$open parentheses negative c comma 0 close parentheses comma open parentheses c comma 0 close parentheses comma c squared equals a squared plus b squared$
ลักษณะกราฟ

สมการมาตรฐานของ ไฮเพอร์โบลา	$y squared over a squared minus x squared over b squared equals 1$
จุดศูนย์กลางของ ไฮเพอร์โบลา	$open parentheses 0 comma 0 close parentheses$
จุดยอดของไฮเพอร์โบลา	$open parentheses 0 comma a close parentheses comma open parentheses 0 comma negative a close parentheses$
แกนตามขวาง	แกน $Y$ ความยาว $2 a$
แกนสังยุค	แกน $X$ ความยาว $2 b$
เส้นกำกับ	$y equals plus-or-minus a over b x$
โฟกัส	$open parentheses 0 comma negative c close parentheses comma open parentheses 0 comma c close parentheses comma c squared equals a squared plus b squared$
ลักษณะกราฟ

ข้อสังเกต! : ลักษณะสมการจะมีความคล้ายกับวงรีมาก ต่างกันที่ วงรีจะนำมาบวกกัน ส่วนไฮเพอร์โบลาจะเป็นการลบกัน และแกนตามขวางไม่จำเป็นต้องมีค่ามากกว่าแกนสังยุค

ตัวอย่าง จงหาความยาวของแกนตามขวาง แกนสังยุค จุดโฟกัส และสมการเส้นกำกับ ของสมการไฮเพอร์โบลา
$x squared over 4 squared minus y squared over 3 squared equals 1$

วิธีทำ
จากสมการ $x squared over 4 squared minus y squared over 3 squared equals 1$ จะได้ว่า $a equals 4 comma space b equals 3$

ดังนั้น ความยาวของแกนตามขวาง คือ $2 a equals 2 open parentheses 4 close parentheses equals 8$
ความยาวของแกนสังยุค คือ $2 b equals 2 open parentheses 3 close parentheses equals 6$

จากสมการโฟกัส $c squared equals a squared plus b squared$ จะได้ว่า $c squared equals open parentheses 4 close parentheses squared plus open parentheses 3 close parentheses squared equals 25$
ดังนั้น $c equals plus-or-minus 5$
ดังนั้น จุดโฟกัส คือ $open parentheses negative 5 comma 0 close parentheses comma open parentheses 5 comma 0 close parentheses$

จากสมการเส้นกำกับ $y equals plus-or-minus b over a x$
เนื่องจาก $a equals 4 comma b equals 3$ จะได้สมการเส้นกำกับ คือ $y equals plus-or-minus 3 over 4 x$

ตัวอย่าง จงสร้างสมการไฮเพอร์โบลา ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ มีจุดโฟกัส คือ $open parentheses negative 5 comma 0 close parentheses comma space open parentheses 5 comma 0 close parentheses$ และมีความยาวแกนตามขวาง 8 หน่วย

วิธีทำ
เนื่องจาก จุดโฟกัส คือ $open parentheses negative 5 comma 0 close parentheses comma open parentheses 5 comma 0 close parentheses$
ดังนั้น $c equals 5$

ความยาวแกนตามขวางคือ 8 หน่วย ดังนั้น $2 a equals 8$ จะได้ $a equals 4$

จากสมการโฟกัส $c squared equals a squared plus b squared vertical ellipsis a equals 4 comma c equals 5$
จะได้ $5 squared equals 4 squared plus b squared$ ดังนั้น $b equals 3$
เนื่องจากจุดโฟกัสอยู่บนแกน $X$

ดังนั้น สมการไฮเพอร์โบลา คือ $x squared over 16 minus y squared over 9 equals 1$

ตัวอย่าง จงหาโฟกัสของสมการไฮเพอร์โบลา
$x squared minus 4 y squared equals 16$

วิธีทำ
จากสมการ $x squared minus 4 y squared equals 16$

จัดสมการใหม่ จะได้ $x squared over 4 squared minus y squared over 2 squared equals 1$
จะได้ว่า $a equals 4 comma b equals 2$

ดังนั้น ความยาวของแกนตามขวาง คือ $2 a equals 2 open parentheses 4 close parentheses equals 8$
ความยาวของแกนสังยุค คือ $2 b equals 2 open parentheses 2 close parentheses equals 4$

จากสมการโฟกัส $c squared equals a squared plus b squared$ จะได้ว่า $c squared equals open parentheses 4 close parentheses squared plus open parentheses 2 close parentheses squared equals 20$
ดังนั้น $c equals plus-or-minus 2 square root of 5$

ดังนั้น จุดโฟกัส คือ $open parentheses negative 2 square root of 5 comma 0 close parentheses comma space open parentheses 2 square root of 5 comma 0 close parentheses$

ไฮเพอร์โบลา

แบบฝึกหัด