พาราโบลา

นิยามทางคณิตศาสตร์ของพาราโบลา

(Wikipedia.org)

พาราโบลา คือ เซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งห่างจากจุดตรึงจุดหนึ่ง และเส้นตรงที่ตรึงอยู่เป็นฐานรองรับเส้นหนึ่ง ซึ่งระยะระหว่างจุดตรึงและเส้นตรงที่ตรึงอยู่เป็นฐานรองรับนั้นมีขนาดเท่ากัน ซึ่งจุดตรึงจุดนั้นคือ โฟกัส และเส้นตรงที่ตรึงอยู่เป็นฐานรองรับนั้นจะเรียกว่า เส้นบังคับหรือไดเรกตริกซ์

(สสวท, 2552, คณิตศาสตร์ เล่ม 2)

ส่วนประกอบของพาราโบลา

(th.wikipedia.org/wiki/พาราโบลา)

เส้นสีครีม : ลาตัสเรกตัม

เส้นสีม่วง : แกน หรือ แกนสมมาตร

เส้นสีเขียว : เส้นบังคับหรือไดเรกตริกซ์

จุด vertex : จุดยอดของพาราโบลา

จุด focus : โฟกัสของพาราโบลา

จำแนกลักษณะของพาราโบลาได้ดังนี้

พาราโบลาตามแกน $Y$
สมการมาตรฐานของพาราโบลาตามแกน $Y$ ที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ คือ

x squared equals 4 c y

โดยที่

c

คือ โฟกัสของพาราโบลา

	$c greater than 0$	$c less than 0$
สมการเส้นลาตัสเรกตัม	$y equals c$ $แกน space Y$ $open parentheses 0 comma c close parentheses$ $y equals negative c$	$y equals c$ $แกน space Y$ $open parentheses 0 comma c close parentheses$ $y equals negative c$
แกนสมมาตร
โฟกัส
สมการไดเรกตริกซ์
ลักษณะกราฟ

พาราโบลาตามแกน $X$
สมการมาตรฐานของพาราโบลาตามแกนที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด $X$ คือ $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$

y squared equals 4 c x

โดยที่

c

คือ โฟกัสของพาราโบลา

	$c greater than 0$	$c less than 0$
สมการเส้นลาตัสเรกตัม	$x equals c$ $แกน space x$ $open parentheses c comma 0 close parentheses$ $x equals negative c$	$x equals c$ $แกน space x$ $open parentheses c comma 0 close parentheses$ $x equals negative c$
แกนสมมาตร
โฟกัส
สมการไดเรกตริกซ์
ลักษณะกราฟ

ตัวอย่าง
จงหาสมการไดเรกตริกซ์ จุดโฟกัส และเส้นลาตัสเรกตัมของสมการพาราโบลา
$x squared equals 16 y$

วิธีทำ
จากสมการพาราโบลา $x squared equals 16 y$

จัดรูปสมการใหม่ จะได้ $x squared equals 4 open parentheses 4 close parentheses y$
ซึ่งจะได้ว่า $c equals 4$
เนื่องจาก $x squared equals 16 y$ เป็นสมการพาราโบลาตามแกน $Y$

ดังนั้น จุดโฟกัส คือ $open parentheses 0 comma 4 close parentheses$
สมการไดเรกตริกซ์ คือ $y equals negative 4$
เส้นลาตัสเรกตัม คือ $y equals 4$

ตัวอย่าง จงสร้างสมการพาราโบลา ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ และมีจุดโฟกัสอยู่ที่จุด $open parentheses 4 comma 0 close parentheses$

วิธีทำ
เนื่องจาก จุดโฟกัสอยู่ที่จุด $open parentheses 4 comma 0 close parentheses$ ซึ่งอยู่บนแกน $X$
ดังนั้น พาราโบลานี้เป็นพาราโบลาตามแกน $X$

จากสมการพาราโบลา $y squared equals 4 c x$
จุดโฟกัสอยู่ที่จุด $open parentheses 4 comma 0 close parentheses$ จะได้ว่า $c equals 4$

ดังนั้น สมการพาราโบลา คือ $y squared equals 4 open parentheses 4 close parentheses x$ จะได้ว่า $y squared equals 16 x$

พาราโบลา

แบบฝึกหัด