วงรี

นิยามทางคณิตศาสตร์ของวงรี

(Wikipedia.org)

วงรี คือ เซตของจุดทุก ๆ จุดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดจุดหนึ่ง ไปยังจุดตรึงทั้งสองจุด (จุด $F subscript 1$ และ $F subscript 2$ ) จะมีค่าคงตัวที่เท่ากันเสมอ โดยจุด $F subscript 1$ และ $F subscript 2$ ของวงรี จะเรียกว่า โฟกัส

(สสวท, 2552, คณิตศาสตร์ เล่ม 2)

ส่วนประกอบของวงรี
(Wikipedia.org)

Center : จุดศูนย์กลางวงรี

จุด $F subscript 1$ และ $F subscript 2$ : โฟกัสของวงรี

แกนเอก คือ เส้นผ่านศูนย์กลางวงรีที่มีความยาวมากกว่า

open parentheses 2 a close parentheses

จุด $V subscript 1$ และ $V subscript 2$ : จุดยอดของวงรี (จุดปลายของแกนเอก)

แกนโท คือ เส้นผ่านศูนย์กลางวงรีที่มีความยาวน้อยกว่า

open parentheses 2 b close parentheses

จำแนกลักษณะของวงรีได้ดังนี้

สมการมาตรฐานของวงรี	$x squared over a squared plus y squared over b squared equals 1$
จุดศูนย์กลางของวงรี	$0 comma 0$
จุดยอด	$open parentheses a comma 0 close parentheses comma space open parentheses negative a comma 0 close parentheses$
แกนเอก	อยู่บนแกน $x$ ความยาว $2 a$
แกนโท	อยู่บนแกน $Y$ ความยาว $2 b$
โฟกัส	$open parentheses negative c comma 0 close parentheses comma space open parentheses c comma 0 close parentheses comma space c squared equals a squared minus b squared$
ลักษณะกราฟ

สมการมาตรฐานของวงรี	$y squared over a squared plus x squared over b squared equals 1$
จุดศูนย์กลางของวงรี	$0 comma 0$
จุดยอด	$open parentheses 0 comma a close parentheses comma space open parentheses 0 comma negative a close parentheses$
แกนเอก	อยู่บนแกน $Y$ ความยาว $2 a$
แกนโท	อยู่บนแกน $X$ ความยาว $2 b$
โฟกัส	$open parentheses 0 comma negative c close parentheses comma space open parentheses 0 comma c close parentheses comma space c squared equals a squared minus b squared$
ลักษณะกราฟ

ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) คือ อัตราส่วนของ c ต่อ a เพื่อวัดความรีของวงรี เขียนแทนด้วย e

ตัวอย่าง
จงหาความยาวแกนเอก แกนโท และโฟกัส ของสมการวงรี
$x squared over 4 squared plus y squared over 3 squared equals 1$

จากสมการวงรี $x squared over 4 squared plus y squared over 3 squared equals 1$ จะได้ว่า $a equals 4 comma b equals 3$

ดังนั้น ความยาวแกนเอกของวงรี คือ $2 a equals open parentheses 2 close parentheses open parentheses 4 close parentheses equals 8$ หน่วย
ความยาวแกนโทของวงรี คือ $2 b equals open parentheses 2 close parentheses open parentheses 3 close parentheses equals 6$ หน่วย

จากสมการโฟกัส $c squared equals a squared minus b squared$
จาก $a equals 4 comma b equals 3$ จะได้ว่า $c squared equals 4 squared minus 3 squared equals 16 minus 9 equals 7$
ดังนั้น $c equals plus-or-minus square root of 7$

ดังนั้น โฟกัสของวงรี คือ $c equals plus-or-minus square root of 7$ และจุดโฟกัสของวงรี คือ $open parentheses negative square root of 7 comma 0 close parentheses comma open parentheses square root of 7 comma 0 close parentheses$

ตัวอย่าง จงสร้างสมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางวงรีอยู่ที่จุด $open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ มีจุดโฟกัสที่จุด $open parentheses 3 comma 0 close parentheses comma open parentheses negative 3 comma 0 close parentheses$ และมีความยาวแกนเอกเท่ากับ 8 หน่วย

วิธีทำ
วงรีนี้มีจุดโฟกัสที่จุด $open parentheses 3 comma 0 close parentheses comma open parentheses negative 3 comma 0 close parentheses$ ดังนั้น $c equals plus-or-minus 3$

เนื่องจากวงรีนี้มีจุดโฟกัสอยู่บนแกน $X$ ดังนั้น วงรีนี้อยู่บนแกน $X$
จากข้อมูล ความยาวแกนเอกเท่ากับ 8 หน่วย
ดังนั้น $2 a equals 8$ จะได้ว่า $a equals 4$

จากสมการโฟกัส : $c squared equals a squared minus b squared vertical ellipsis a equals 4 comma c equals plus-or-minus 3$
ดังนั้น $open parentheses plus-or-minus 3 close parentheses squared equals open parentheses 4 close parentheses squared$ จะได้ว่า $b equals square root of 7$

สรุป สมการวงรี คือ $x squared over 16 plus y squared over 7 equals 1$

ตัวอย่าง จงหาความยาวแกนเอก แกนโท ของสมการวงรี
$4 x squared plus 25 y squared equals 100$

วิธีทำ
จากสมการ $4 x squared plus 25 y squared equals 100$
จัดรูปสมการใหม่ โดยการนำ $1 over 100$ คูณตลอดสมการ
จะได้ $x squared over 25 plus y squared over 4 equals 14$
ดังนั้น $a squared equals 25 comma b squared equals 4$ จะได้ $a equals 5 comma b equals 2$

ดังนั้น ความยาวแกนเอกของวงรี คือ $2 a equals open parentheses 2 close parentheses open parentheses 5 close parentheses equals 10$ หน่วย
ความยาวแกนโทของวงรี คือ $2 b equals open parentheses 2 close parentheses open parentheses 2 close parentheses equals 4$ หน่วย

วงรี

แบบฝึกหัด

วงรี

วงรี

วงรี

เนื้อหา

วงรี

นิยามทางคณิตศาสตร์ของวงรี

จำแนกลักษณะของวงรีได้ดังนี้

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ