จุดและเส้น

ระยะทางระหว่างจุดสองจุด

ระยะทางระหว่างจุด $P open parentheses x subscript 1 comma y subscript 1 close parentheses$ และ จุด $Q open parentheses x subscript 2 comma y subscript 2 close parentheses$ หาได้จาก

open vertical bar P Q close vertical bar equals square root of open parentheses x subscript 2 minus x subscript 1 close parentheses squared plus open parentheses y subscript 2 minus y subscript 1 close parentheses squared end root

จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด

ให้ $P open parentheses top enclose x comma space top enclose y close parentheses$ เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด $A open parentheses x subscript 1 comma x subscript 2 close parentheses$ และจุด $B open parentheses x subscript 2 comma y subscript 2 close parentheses$ จะได้ว่า

P open parentheses top enclose x comma top enclose y close parentheses equals fraction numerator x subscript 1 plus x subscript 2 over denominator 2 end fraction comma fraction numerator y subscript 1 plus y subscript 2 over denominator 2 end fraction

จุดแบ่งของส่วนของเส้นตรง

ให้ $P open parentheses x comma y close parentheses$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $A open parentheses x subscript 1 comma x subscript 2 close parentheses$ และ $B open parentheses x subscript 2 comma y subscript 2 close parentheses$

โดยที่อัตราส่วน $open vertical bar A P close vertical bar colon open vertical bar P B close vertical bar equals m colon n$ จะได้ว่า

x equals fraction numerator n x subscript 1 plus m x subscript 2 over denominator n plus m end fraction space และ space y equals fraction numerator n y subscript 1 plus m y subscript 2 over denominator n plus m end fraction

จุดตัดกันของเส้นมัธยฐาน

ให้ $A open parentheses x subscript 1 comma y subscript 1 close parentheses comma space B open parentheses x subscript 2 comma y subscript 2 close parentheses$ และ $C open parentheses x subscript 3 comma y subscript 3 close parentheses$ เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC โดยมี $P open parentheses x comma y close parentheses$ เป็น จุดตัดของเส้นมัธยฐาน จะได้ว่า

x equals fraction numerator x subscript 1 plus x subscript 2 plus x subscript 3 over denominator 3 end fraction space และ space y equals fraction numerator y subscript 1 plus y subscript 2 plus y subscript 3 over denominator 3 end fraction

โดย $fraction numerator open vertical bar A P close vertical bar over denominator open vertical bar P D close vertical bar end fraction equals fraction numerator open vertical bar B P close vertical bar over denominator open vertical bar P E close vertical bar end fraction equals fraction numerator open vertical bar C P close vertical bar over denominator open vertical bar P F close vertical bar end fraction equals 2 over 1$

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ของรูป

begin mathsize 12px style A B C equals 1 half open vertical bar table row cell x subscript 1 end cell cell y subscript 1 end cell row cell x subscript 2 end cell cell y subscript 2 end cell row cell x subscript 3 end cell cell y subscript 3 end cell row cell x subscript 1 end cell cell y subscript 1 end cell end table close vertical bar space space space space space space space space space space equals 1 half open vertical bar open parentheses x subscript 1 y subscript 2 plus x subscript 2 y subscript 3 plus x subscript 3 y subscript 1 close parentheses minus open parentheses x subscript 1 y subscript 3 plus x subscript 3 y subscript 2 plus x subscript 2 y subscript 1 close parentheses close vertical bar end style

ระยะตัดแกนของเส้นตรง

ให้ $L$ เป็นเส้นตรงที่ตัดแกน $x$ และ แกน $y$ ณ จุดที่ห่างจากจุดกําเนิด เป็นระยะทางเท่ากับ $a$ และ $b$ ตามลําดับ ดังภาพ

เรียก $a$ ระยะตัดแกน $x$ ของเส้นตรง $L$
ถ้า $a greater than 0$ แล้ว $L$ ตัดแกน $x$ ทางขวา
ถ้า $a less than 0$ แล้ว $L$ ตัดแกน $x$ ทางซ้าย

ความชันของเส้นตรง

ให้ $m$ แทนความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $open parentheses x subscript 1 comma y subscript 1 close parentheses$ และ $open parentheses x subscript 2 space end subscript comma space y subscript 2 close parentheses$ แล้ว ความชันของเส้นตรงหาได้จาก

m equals fraction numerator y subscript 2 minus y subscript 1 over denominator x subscript 2 minus x subscript 1 end fraction space หร ื อ space m equals space tan theta

ลักษณะของเส้นตรงกับความชัน

$m equals 0. theta equals 0 degree$

$blank$
$m greater than 0 comma 0 degree less than theta less than 90 degree$

$m less than 0 comma 90 degree less than theta less than 180 degree$

$m space หาค ่ าไม ่ ได ้ space comma space theta equals 90 degree$

สมการเส้นตรง

รูปมาตรฐาน $y equals m x plus c$ เมื่อ $m$ คือความชัน และ $c$ คือ จุดตัดแกน $y$

รูปทั่วไป $A x plus B y plus C equals 0$

จะได้ ความชัน $open parentheses m close parentheses equals negative A over B$ และ ระยะตัดแกน $y open parentheses c close parentheses equals negative C over B$

ถ้า $L$ ผ่านจุด $open parentheses x subscript 1 comma y subscript 1 close parentheses$ และ $open parentheses x subscript 2 comma y subscript 2 close parentheses$ แล้ว สมการเส้นตรงหาได้จาก

y minus y subscript 1 equals m open parentheses x minus x subscript 1 close parentheses

ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรง

ให้เส้นตรง $L subscript 1$ มีสมการเป็น $y equals m subscript 1 x plus c subscript 1$ และ เส้นตรง $L subscript 2$ มีสมการเป็น $y equals m subscript 2 x plus c subscript 2$
เมื่อ $m subscript 1$ และ $m subscript 2$ เป็นความชันของเส้นตรง $L subscript 1$ และ $L subscript 2$ ตามลําดับ จะได้ว่า

$L subscript 1 parallel to L subscript 2 left right arrow m subscript 1 equals m subscript 2$
$L subscript 1 perpendicular L subscript 2 left right arrow m subscript 1 times m subscript 2 equals negative 1$ หรือ $m subscript L subscript 1 end subscript equals 0$ และ $m subscript L subscript 2 end subscript$ หาค่าไม่ได้

ระยะทางระหว่างจุดถึงเส้นตรง

ให้ $d$ เป็นระยะทางระหว่างจุด $open parentheses x comma y close parentheses$ ถึงเส้นตรง $A x plus B y plus C equals 0$ จะได้ว่า

d equals fraction numerator open vertical bar A x subscript 1 plus B y subscript 1 plus C close vertical bar over denominator square root of A squared plus B squared end root end fraction

ระยะทางระหว่างเส้นคู่ขนาน

ให้ $d$ เป็นระยะทางระหว่างเส้นคู่ขนาน และ

$L subscript 1$ มีสมการเป็น $A x subscript 1 plus B y subscript 1 plus C subscript 1 equals 0$
$L subscript 2$ มีสมการเป็น $A x subscript 2 plus B y subscript 2 plus C subscript 2 equals 0$ จะได้ว่า

d equals fraction numerator open vertical bar C subscript 1 minus C subscript 2 close vertical bar over denominator square root of A squared plus B squared end root end fraction

จุดและเส้นตรง

แบบฝึกหัด