สมดุลกล

สมดุลของการหมุน

นักเรียนอาจเคยได้ยินปริมาณที่เรียกว่าโมเมนต์ $begin mathsize 14px style left parenthesis M with rightwards arrow on top right parenthesis end style$ กับทอร์ก $begin mathsize 14px style left parenthesis T with rightwards arrow on top right parenthesis end style$ ปริมาณทั้งสองนี้คือปริมาณที่คล้ายกันทั้งสมการ และหน่วย แต่การที่มีชื่อเรียกที่ต่างกันย่อมที่จะให้ความหมายทางฟิสิกส์ที่แตกต่างกันดังนี้

• โมเมนต์ของแรงที่มีทิศทางขนานกับแกนของชิ้นส่วน เรียกว่า “ทอร์ก” (คล้ายๆการออกแรงบิด)
• โมเมนต์ของแรงที่มีทิศทางตั้งฉากกับแกนของชิ้นส่วน เรียกว่า “โมเมนต์” (คล้ายการออกแรงดัด)

ดังนั้น สมดุลของการหมุนในบทเรียนนี้อยู่ภายใต้เงื่อนไข

sum M with rightwards harpoon with barb upwards on top equals 0 with rightwards harpoon with barb upwards on top

และ

sum T with rightwards harpoon with barb upwards on top equals 0 with rightwards harpoon with barb upwards on top

เนื่องจากทั้งโมเมนต์และทอร์กเป็นปริมาณที่เกี่ยวข้องกับการหมุนและเมื่อผลรวมโมเมนต์หรือทอร์กลัพธ์เป็นศูนย์จะทำให้ความเร่งเชิงมุมเป็นศูนย์ด้วย

ซึ่งมี 2 แบบ คือ

สมดุลสถิต (เชิงการหมุน) เป็นสภาพสมดุลของวัตถุที่หยุดนิ่งไม่มีการหมุน
สมดุลจลน์ (เชิงการหมุน) เป็นสภาพสมดุลของวัตถุที่มีการหมุนรอบแกนที่อยู่ในแนวเดิมไม่เปลี่ยนแปลงด้วยอัตราเร็วคงที่

เปรียบเทียบ
แรง ทำให้วัตถุเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่
(เลื่อนตำแหน่ง)
โมเมนต์และทอร์ก ทำให้วัตถุเปลี่ยนสภาพ
การหมุน(เกิดการหมุน)

โมเมนต์ $left parenthesis M with rightwards harpoon with barb upwards on top right parenthesis$ และทอร์ก $left parenthesis T with rightwards harpoon with barb upwards on top right parenthesis$

คือ ความพยายามทำให้วัตถุบิดหรือหมุนไป ปริมาณนี้เป็นปริมาณเวกเตอร์และมีหน่วยเป็น N∙m
มีขนาดเท่ากับแรง (F) คูณระยะห่างจากจุดหมุนถึงแนวแรง (L) โดยต้องตั้งฉากกัน
โดยขนาด

$M equals F cross times L tau with rightwards harpoon with barb upwards on top equals F with rightwards harpoon with barb upwards on top cross times L with rightwards harpoon with barb upwards on top$

ดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 แรง $F with rightwards harpoon with barb upwards on top$ กระทำที่ปลายคานยาว L ใน
ลักษณะตั้งฉากกัน โดยที่ปลายอีกด้านของคาน
ยึดไว้กับจุดหมุน
รูปที่ 2 แรง $F with rightwards harpoon with barb upwards on top$ กระทำคานที่ระยะ l จากจุดหมุน
ในลักษณะไม่ตั้งฉากกันในกรณีนี้ต้องทำให้ปริมาณ
ทั้งสองตั้งฉากกันก่อนจึงจะนำค่าดังกล่าวมาคำนวณ
โมเมนต์ จะได้
$M equals left parenthesis F cos theta right parenthesis l equals F l cos theta space space$

รูปที่ 3 แรง $F with rightwards harpoon with barb upwards on top$ กระทำกับวัตถุทรงกลมแบนรัศมี R
ที่มีจุดหมุนอยู่ที่จุดศูนย์กลางมวลในลักษณะแนวเส้นสัมผัสส่วนโค้ง

Trick หากแรงผ่านจุดหมุนหรือจุดศูนย์กลางมวล (c.m.) โมเมนต์หรือทอร์กจะเป็น 0 วัตถุจะไม่หมุนแต่เลื่อนตำแหน่ง

โจทย์มักจะพูดถึงทอร์กเมื่อแรงทำให้วัตถุที่มีรัศมี R มีความสามารถในการหมุนหรือบิดไป
โจทย์มักจะพูดถึงโมเมนต์เมื่อแรงทำให้วัตถุหรือมวลที่วางอยู่บนคานห่างจากจุดหมุน L มีความสามารถในการหมุนรอบจุดหมุน

วัตถุจะอยู่ในสมดุลการหมุน เมื่อขนาดของโมเมนต์หรือทอร์กที่ทำให้วัตถุหมุนในทิศทวนเข็มนาฬิกาเท่ากับขนาดของโมเมนต์หรือทอร์กที่ทำให้วัตถุหมุนในทิศ
ตามเข็มนาฬิกา

T subscript ทวน equals T subscript ตาม

M subscript ทวน equals M subscript ตาม

หลักการคำนวณสมดุลของคาน

ให้เริ่มจาก

วาดแรงที่กระทำกับคานให้ครบ
กำหนดจุดหมุนแล้วแตกแรงที่กระทำให้ตั้งฉาก
กับระยะทางจากจุดหมุนถึงแนวแรง
$M equals F l space space space space space space left parenthesis N bullet m right parenthesis$ คิด $sum M subscript ทวน equals sum M subscript ตาม$ รอบจุดหมุนนั้นจากนั้นแก้สมการหาตัวแปรที่ต้องการ

โมเมนต์ของแรงคู่ควบ

เกิดเมื่อแรงขนาดเท่ากัน 2 แรงกระทำกับวัตถุใน
แนวเดียวกันทิศตรงข้ามกันและห่างกันเป็นระยะ l

ดังนั้น แรงคู่ควบจะทำให้วัตถุอยู่ในสมดุลต่อการเลื่อนที่ในขณะที่หมุนเสมอ เมื่อพิจารณาโมเมนต์รอบจุดหมุน
จะได้ $M equals F left parenthesis 1 half right parenthesis plus F left parenthesis 1 half right parenthesis$
ดังนั้น ขนาดโมเมนต์ของแรงคู่ควบ
เท่ากับ $M equals 2 F left parenthesis 1 half right parenthesis equals F l space left parenthesis N times m right parenthesis$

M equals F l space space space space space left parenthesis N times m right parenthesis

หลักการคำนวณสมดุลของวัตถุรัศมี R

ให้เริ่มจาก

วาดแรงที่กระทำกับวัตถุกับให้ครบ
แตกแรงให้ตั้งฉากกับแนวรัศมี (กรณีจุดศูนย์กลางมวลเป็นจุดหมุน)
คิด $sum T subscript ทวน equals sum T subscript ตาม$ รอบจุดหมุน

จุดศูนย์กลางมวล(C.M.) และจุดศูนย์ถ่วง(C.G.)

จุดศูนย์กลางมวล (Center of mass) "C.M." คือ ตำแหน่งที่เสมือนเป็นที่รวมของมวลทั้งก้อน ซึ่งจุดนี้อาจจะอยู่ในหรือนอกวัตถุก็ได้ การหาจุดศูนย์กลางมวล หาได้โดยออกแรงกระทำต่อวัตถุให้เคลื่อนที่ตามแนวแรงแบบไม่หมุน หลาย ๆ ครั้ง แล้วพบว่าแรงเหล่านั้นจะตัดกันที่ตำแหน่ง ตำแหน่งหนึ่ง คือ จุดศูนย์กลางมวล

จุด O เป็นจุดที่แนวแรง F กระทำผ่านแล้ววัตถุไม่หมุนแต่ละจะเคลื่อนที่ตามแนวแรง F ด้วยความเร่ง a ดังนั้น จุด O จึงเป็นจุดศูนย์กลางของมวล

จุดศูนย์ถ่วง (Center of gravity) "C.G." คือ ตำแหน่งที่เสมือนเป็นที่รวมของน้ำหนักของวัตถุทั้งก้อนซึ่งจุดนี้อาจจะอยู่ในหรือนอกวัตถุก็ได้ การหาจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุโดยการแขวน วัตถุน้ำในลักษณะต่างๆ กันในแนวดิ่ง โดยแนวของน้ำหนักของวัตถุจะตัดกันที่จุด จุดหนึ่ง จุดนั้นคือ จุดศูนย์ถ่วง

จุด O เป็นจุดที่แนวน้ำหนัก หรือ mg ตัดกันไม่ว่าจะแขวนวัตถุในลักษณะใดก็ตาม

สมดุลกล (2)

แบบฝึกหัด