ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เมื่อพิจารณาตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ตัวผกผัน ดังกล่าวอาจไม่เป็นฟังก์ชัน เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 แต่ถ้ามีการพิจารณาโดเมนของฟังก์ชันตรีโกณมิติในช่วงที่เหมาะสม ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะเป็นฟังก์ชันได้ และจะเรียกตัวผกผันของฟังก์ชัน $sin comma space cos comma space tan$ ว่า $a r c sin e comma space a r c cos i n e$ และ $a r c tan g e n t$ ตามลำดับ หรือเขียนสั้นๆ ว่า $a r c sin comma space a r c cos$ และ $a r c tan$

นิยามของตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชัน $a r c sin$ คือเซตของคู่อันดับ

open parentheses x comma y close parentheses

โดยที่

x equals sin space y

และ

begin mathsize 14px style negative straight pi over 2 less or equal than y less or equal than straight pi over 2 end style

ฟังก์ชัน $a r c cos$ คือเซตของคู่อันดับ

open parentheses x comma y close parentheses

โดยที่

x equals cos space y

และ

begin mathsize 14px style 0 less or equal than y less or equal than straight pi end style

ฟังก์ชัน $a r c tan$ คือเซตของคู่อันดับ

open parentheses x comma y close parentheses

โดยที่

x equals tan space y

และ

begin mathsize 14px style negative straight pi over 2 less than y less than straight pi over 2 end style

จากนิยามข้างต้นสรุปได้ว่า ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนดโดเมนเพื่อให้มีฟังก์ชันผกผัน มีโดเมนและเรนจ์ ดังนี้

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์
$begin mathsize 12px style y equals sin space x end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose x space minus straight pi over 2 less or equal than x less or equal than straight pi over 2 close curly brackets end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose y space minus 1 less or equal than y less or equal than 1 close curly brackets end style$
$begin mathsize 12px style y equals cos space x end style$	$begin mathsize 14px style open curly brackets right enclose x space 0 less or equal than x less or equal than straight pi close curly brackets end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose y space minus 1 less or equal than y less or equal than 1 close curly brackets end style$
$begin mathsize 12px style y equals tan space x end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose x space minus straight pi over 2 less than x less than straight pi over 2 close curly brackets end style$	$¡$

และฟังก์ชัน $begin mathsize 12px style a r c sin comma space a r c cos end style$ และ $begin mathsize 12px style a r c tan end style$ มีโดเมนและเรนจ์ดังนี้

ฟังก์ชัน	โดเมน	เรนจ์
$begin mathsize 12px style y equals a r c sin space x end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose x minus 1 less or equal than x less or equal than 1 close curly brackets end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose y minus straight pi over 2 less or equal than y less or equal than straight pi over 2 close curly brackets end style$
$begin mathsize 12px style y equals space a r c cos space x end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose x minus 1 less or equal than x less or equal than 1 close curly brackets end style$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose y space 0 less or equal than y less or equal than straight pi close curly brackets end style$
$begin mathsize 12px style y equals a r c tan space x end style$	$¡$	$begin mathsize 12px style open curly brackets right enclose y minus straight pi over 2 less than y less than straight pi over 2 close curly brackets end style$

ตัวอย่างการหาค่าของตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น

$a r c cos fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction equals straight pi over 6$ เนื่องจาก $cos straight pi over 6 equals fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction$
ถึงแม้ว่า $cos fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction equals fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction$ ด้วยแต่ $a r c cos fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction not equal to fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction$ เพราะ $fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction$
ไม่ได้เป็นสมาชิกในเรจน์ของฟังก์ชัน $a r c cos$

$a r c tan space open parentheses negative 1 close parentheses equals negative straight pi over 4$ เนื่องจาก $tan open parentheses negative straight pi over 4 close parentheses equals negative 1$
ถึงแม้ว่า $tan fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction equals negative 1$ ด้วยแต่ $a r c tan open parentheses negative 1 close parentheses equals fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction$ เพราะ $fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction$
ไม่ได้เป็นสมาชิกในเรจน์ของฟังก์ชัน $a r c tan$

ตัวอย่าง จงหาค่าของ $cos open parentheses 2 a r c sin space 1 fourth close parentheses$

วิธีทำ
ให้ $theta equals a r c sin 1 fourth$ โดยที่ $negative straight pi over 2 less or equal than theta less or equal than straight pi over 2$ และ $sin theta equals 1 fourth$
$ด ั งน ั้ น space cos open parentheses 2 a r c sin 1 fourth close parentheses equals cos open parentheses 2 theta close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 1 minus 2 sin squared open parentheses theta close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 1 minus 2 open parentheses 1 fourth close parentheses squared equals 7 over 8$

ข้อสังเกต
1. ค่าของตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิตมีค่าเป็นขนาดของมุมซึ่งอยู่ในหน่วยของเรเดียน
2. $begin mathsize 14px style bold italic c bold italic o bold italic s bold left parenthesis bold arccos bold space bold x bold right parenthesis bold equals bold italic x end style$ , $begin mathsize 14px style bold italic s bold italic i bold italic n bold left parenthesis bold arcsin bold space bold x bold right parenthesis bold equals bold italic x end style$ และ $begin mathsize 14px style bold italic t bold italic a bold italic n bold left parenthesis bold arctan bold space bold x bold right parenthesis bold equals bold italic x end style$
สำหรับ x ที่อยู่ในโดเมนของฟังก์ชันผกผัน แต่ $begin mathsize 14px style bold italic a bold italic r bold italic c bold italic c bold italic o bold italic s bold left parenthesis bold cos bold space bold x bold right parenthesis bold not equal to bold italic x end style$ , $begin mathsize 14px style bold italic a bold italic r bold italic c bold italic s bold italic i bold italic n bold left parenthesis bold sin bold space bold x bold right parenthesis bold not equal to bold italic x end style$
และ $begin mathsize 14px style bold italic a bold italic r bold italic c bold italic t bold italic a bold italic n bold left parenthesis bold tan bold space bold x bold right parenthesis bold not equal to bold italic x end style$ สำหรับค่า x ที่ไม่อยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน

แบบฝึกหัด

ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน (ชุดที่ 1)

ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน (ชุดที่ 2)

ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติผกผัน (ชุดที่ 3)

เนื้อหา

ตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ