การหาระยะทางและความสูง

ในการวัดระยะทางและความสูง สามารถใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันตรีโกณ มุมก้มและมุมเงย กฏของโคไซน์และไซน์มาช่วยในการหาระยะทางและความสูงได้

มุมก้มและมุมเงยเป็นมุมที่เกิดจากแนวเส้นระดับสายตาและแนวเส้นจากตาที่มองไปที่วัตถุ ถ้าวัตถุที่มองนั้นอยู่ต่ำกว่าระดับสายตา มุมจากแนวเส้นระดับสายตาไปยังแนวเส้นที่จากตาที่มองไปที่วัตถุ จะถูกเรียกว่า มุมก้ม ในทางกลับกัน ถ้าวัตถุที่มองนั้นอยู่สูงกว่าระดับสายตา มุมจากแนวเส้นระดับสายตาไปยังแนวเส้นที่จากตาที่มองไปที่วัตถุ จะถูกเรียกว่า มุมเงย โดยขนาดของมุมทั้งสองจะเป็นจำนวนบวกเสมอ

จากภาพด้านบน จะสังเกตได้ว่า เมื่อเราต้องการหาระยะทางระหว่างผู้สังเกตกับวัตถุหรือความสูงของวัตถุจากผู้สังเกต เราจะสามารถประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติได้ โดยการเลือก ใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เหมาะสมกับข้อมูลและคำถามจากปัญหา ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 นาย ก ยืนอยู่ฝั่งหนึ่งของแม่น้ำที่จุด $A$ มองเห็นโรงแรมอยู่ฝั่งตรงข้ามที่จุด $B$ นาย ก อยากทราบความกว้างของแม่น้ำ จึงเดินห่างไปจากจุดที่ยืนอยู่ตามริมขอบแม่น้ำเป็นระยะทาง 100 เมตร ณ จุด $B$ ทำให้ได้รูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดและมุม ดังรูป อยากทราบว่าแม่น้ำ ณ ตำแหน่งที่โรงแรมตั้งอยู่กว้างเท่าใด

วิธีทำ
จากรูป จะได้ว่า $tan space 60 degree equals fraction numerator A B over denominator A C end fraction$
ดังนั้น $A B equals A C space tan space 60 degree equals 100 square root of 3$ เมตร
ทำให้ได้ว่า ณ ตำแหน่งที่โรงแรมตั้งอยู่นั้น แม่น้ำมีความกว้าง $100 square root of 3$ เมตร

ตัวอย่างที่ 2 นาย ก มองเห็นเรือสองลำจากหน้าผาแห่งหนึ่งซึ่งสูง 200 เมตร โดยนาย ก มองเรือสองลำในทะเลด้วยมุมก้ม $30 degree$ และ $75 degree$ ตามลำดับ จากเส้นระดับสายตาเดียวกัน อยากทราบว่าเรือทั้งสองลำอยู่ห่างกันเท่าใด

วิธีทำ
จากโจทย์ วาดรูปได้ดังนี้

จากรูป จะได้ว่า $A D with hat on top B equals 45 degree$ และ $C B with hat on top D equals 75 degree$ ทำให้ ได้ว่า
$A B with hat on top D equals 105 degree$ และ $B A with hat on top D equals 30 degree$
จากกฏของไซน์ จะได้ว่า     $begin mathsize 14px style fraction numerator sin space A D with hat on top B over denominator A B end fraction equals fraction numerator sin begin display style space end style begin display style B end style begin display style A with hat on top end style begin display style D end style over denominator B D end fraction end style$
ดังนั้น $begin mathsize 14px style A B equals fraction numerator B D space sin A D with hat on top B over denominator sin B A with hat on top D end fraction equals fraction numerator B D sin space 45 degree over denominator sin 30 degree end fraction equals square root of 2 B D end style$ (1)
ลำดับต่อไปจะหา $B D$ โดยพิจารณาสามเหลี่ยม $B C D$
ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์   $sin C B with hat on top D equals fraction numerator C D over denominator B D end fraction$
ดังนั้น
$B D equals fraction numerator C D over denominator sin 75 degree end fraction equals fraction numerator 200 over denominator sin open parentheses 45 degree plus 30 degree close parentheses end fraction equals fraction numerator 200 over denominator sin 45 degree cos 30 degree plus cos 45 degree sin 30 degree end fraction equals fraction numerator 200 over denominator begin display style fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end style times begin display style fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction end style times begin display style fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end style times begin display style 1 half end style end fraction equals fraction numerator 800 over denominator square root of 2 open parentheses square root of 3 plus 1 close parentheses end fraction$
แทนค่า $B D$ ใน (1) จะได้ $A B equals square root of 2 B D equals fraction numerator 800 over denominator square root of 3 plus 1 end fraction$

ดังนั้น เรือทั้งสองลำห่างกัน $fraction numerator 800 over denominator square root of 3 plus 1 end fraction$ เมตร

การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ

แบบฝึกหัด

การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ (ชุดที่ 1)

การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ (ชุดที่ 2)

การประยุกต์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ (ชุดที่ 3)

เนื้อหา

การหาระยะทางและความสูง

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ