เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

คือ สมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนตรีโกณมิติต่างๆ โดยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่สำคัญ ประกอบไปด้วย 3 ความสัมพันธ์ดังนี้

$sin squared theta plus cos squared theta equals 1$
$s e c squared theta minus tan squared theta equals 1$
$c s c squared theta minus c o t squared theta equals 1$

เมื่อ $theta$ เป็นมุมภายใน (มุมแหลม) ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ และกำหนดให้เขียนสัญลักษณ์ $sin squared theta$ แทน $open parentheses sin theta close parentheses squared$ , $cos squared theta$ แทน $open parentheses cos theta close parentheses squared$ , $tan squared theta$ แทน $open parentheses tan theta close parentheses squared$ …

เป็นที่สังเกตว่า เมื่อขยายไปยังแนวคิดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราพบว่า เอกลักษณ์ตรีโกณมิติทั้งสามความสัมพันธ์ดังกล่าว ก็ยังคงเป็นจริง สำหรับกรณีของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ด้วยเช่นกัน กล่าวคือ

sin squared x plus cos squared x equals 1

เป็นจริง สำหรับทุกจำนวนจริง

bold italic x bold element of bold real numbers

$s e c squared x minus tan squared x equals 1$ เป็นจริง สำหรับทุกจำนวนจริง $bold italic x bold element of bold real numbers$ ซึ่ง $bold italic c bold italic o bold italic s bold space bold italic x bold not equal to bold 0$

c s c squared x minus c o t squared x equals 1

เป็นจริง สำหรับทุกจำนวนจริง $bold italic x bold element of bold real numbers$ ซึ่ง $bold italic s bold italic i bold italic n bold space bold italic x bold not equal to bold 0$

สมการตรีโกณมิติและการแก้สมการตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมิติ เป็นสมการที่มีตัวแปรซึ่งติดอยู่ในฟังก์ชันตรีโกณมิติ ปรากฏอยู่ในสมการ โดยอาจสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท ขึ้นอยู่กับข้อจำกัดของคำตอบที่ต้องการ ดังนี้

เมื่อโจทย์กำหนดเงื่อนไขของช่วงคำตอบที่ต้องการ (ต้องการให้คำตอบอยู่ในช่วงที่ต้องการ)

เช่น กำหนด $0 less or equal than x less than straight pi over 2 comma 0 less or equal than x less than straight pi comma 0 degree less or equal than straight x less than 360 degree$ เราจะต้องหาคำตอบในช่วงที่กำหนดให้

ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ $sin x equals 1 half$ เมื่อกำหนดให้ $0 less or equal than x less than 2 straight pi$

วิธีทำ
จากโจทย์ กำหนด $sin space x equals 1 half$
เนื่องจาก $sin space x$ มีค่าเป็นบวกในควอดรันต์ที่ 1 และ ควอดรันต์ที่ 2
จะได้ $x equals straight pi over 6 comma space straight pi minus straight pi over 6 rightwards double arrow straight x equals straight pi over 6 comma fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction$

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการนี้ คือ $open curly brackets straight pi over 6 comma space fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction close curly brackets$

ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ $sin space 2 A plus cos A equals 0$ ในช่วง $open square brackets 0 comma 2 straight pi close square brackets$

วิธีทำ
จากโจทย์    $sin space 2 A plus cos A equals 0$

จะได้ $2 sin A space cos A plus cos A equals 0 cos A open parentheses 2 sin A plus 1 close parentheses equals 0$

นั่นคือ $cos A equals 0$ หรือ $2 sin A plus 1 equals 0$

ถ้า $cos A equals 0$    จะได้ $A equals straight pi over 2 comma fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction$
ถ้า $2 sin A plus 1 equals 0$    จะได้   $sin A equals negative 1 half$
ดังนั้น $A equals fraction numerator 7 straight pi over denominator 6 end fraction comma fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction$

ดังนั้น เซตคำตอบของสมการนี้ คือ $open curly brackets straight pi over 2 comma fraction numerator 7 straight pi over denominator 6 end fraction comma fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction comma fraction numerator 11 straight pi over denominator 6 end fraction close curly brackets$

เมื่อไม่กำหนดช่วงของคำตอบที่ต้องการ

ในกรณีที่โจทย์ไม่กำหนดช่วงของคำตอบมาให้แสดงว่าจะต้องหาคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดบนเซตของจำนวนจริง จึงต้องตอบในรูปทั่วไป

เนื่องจาก

begin mathsize 10px style sin open parentheses 2 n straight pi plus straight theta close parentheses equals sin theta comma space cos open parentheses 2 n straight pi plus straight theta close parentheses equals cos theta comma space tan open parentheses 2 n straight pi plus straight theta close parentheses equals tan theta comma horizontal ellipsis end style

ดังนั้น เราจึงอาจหาคำตอบในช่วง

begin mathsize 12px style open square brackets 0 comma 2 straight pi close square brackets end style

ก่อน แล้วจึงเขียนคำตอบในรูปทั่วไป

เช่น คำตอบในช่วง $open square brackets 0 comma 2 straight pi close square brackets$ คือ $straight pi over 3 comma fraction numerator 2 straight pi over denominator 3 end fraction comma fraction numerator 4 straight pi over denominator 3 end fraction comma fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction$ จะได้คำตอบในรูปทั่วไป คือ $2 n straight pi plus straight pi over 3 comma space 2 nπ plus fraction numerator 2 straight pi over denominator 3 end fraction comma 2 nπ plus fraction numerator 4 straight pi over denominator 3 end fraction comma space 2 nπ fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction$ เมื่อ $n element of Z$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ

ตัวอย่าง จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ $tan theta equals 1$

วิธีทำ
จากโจทย์ $tan theta equals 1$
ถ้า $theta element of left square bracket 0 comma 2 straight pi right parenthesis$ จะได้ $theta equals straight pi over 4 comma space fraction numerator 5 straight pi over denominator 4 end fraction$

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการนี้ คือ $theta equals 2 n straight pi plus straight pi over 4 comma 2 nπ plus fraction numerator 5 straight pi over denominator 4 end fraction$ เมื่อ $n element of Z$

ตัวอย่าง จงหา คำตอบทั่วไปของสมการ $2 cos squared x minus 5 sin x plus 1 equals 0$

วิธีทำ
พิจารณา จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ $sin squared x plus cos squared x equals 1$ ทำให้เราได้ว่า $cos squared x equals 1 minus sin squared x$ เมื่อนำไปแทนค่าลงในสมการโจทย์ จะได้

$2 open parentheses 1 minus sin squared x close parentheses minus 5 sin x plus 1 equals 0 rightwards double arrow 2 minus 2 sin squared x minus 5 sin x plus 1 equals 0 rightwards double arrow 2 sin squared x plus 5 sin x minus 3 equals 0 space space space space space space rightwards double arrow open parentheses 2 sin x minus 1 close parentheses open parentheses sin x plus 3 close parentheses equals 0 space space space space space space rightwards double arrow sin x equals 1 half space หร ื อ space space sin x equals negative 3$
แต่เนื่องจาก $negative 1 less or equal than sin x less or equal than 1$ เท่านั้น ดังนั้น $sin x equals negative 3$ เกิดขึ้นไม่ได้ เราจึงพิจารณาเพียง กรณีที่ $sin x equals 1 half$ เท่านั้น
พิจารณา ถ้า $x element of left square bracket 0 comma 2 straight pi right parenthesis$ จะได้ $x equals straight pi over 6 comma fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction$

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการนี้ คือ $x equals 2 n straight pi plus straight pi over 6 comma space 2 nπ plus fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction$ เมื่อ $n element of Z$

เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

แบบฝึกหัด

เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมิติ

เนื้อหา

เอกลักษณ์ตรีโกณมิติและสมการตรีโกณมิติ