กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การศึกษากราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นการศึกษาเกี่ยวกับลักษณะของกราฟ พร้อมทั้งหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง จากค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของ $y equals sin space x$ และ $y equals cos space x$ ที่ทราบจากตารางด้านล่างนี้

x	$negative 2 straight pi$	$negative fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction$	$negative straight pi$	$negative straight pi over 2$
sin x	$0$	$1$	$0$	$negative 1$
cos x	$1$	$0$	$negative 1$	$0$

x	$0$	$straight pi over 2$	$straight pi$	$fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction$	$2 straight pi$
sin x	$0$	$1$	$0$	$negative 1$	$0$
cos x	$1$	$0$	$negative 1$	$0$	$1$

เราสามารถเขียนกราฟของ $y equals sin space x$ ในช่วง $x equals negative 2 straight pi$ ถึง $x equals 2 straight pi$ ได้ดังนี้

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถเขียนกราฟของ $y equals cos space x$ ในช่วง $x equals negative 2 straight pi$ ถึง $x equals 2 straight pi$
ได้ดังนี้

เนื่องจาก สำหรับทุกจำนวนจริง $x element of straight real numbers$ ค่าของ $sin space x$ หาค่าได้เสมอ และ ค่าของ $sin space x$ สอดคล้อง $negative 1 less or equal than sin space x less or equal than 1$ เราจึงกล่าวได้ว่า โดเมนของฟังก์ชัน $y equals sin space x$ คือ เซตของจำนวนจริง $straight real numbers$ และ เรนจ์ของฟังก์ชัน $y equals sin space x$ คือ ช่วงปิด $open square brackets negative 1 comma 1 close square brackets$
ดัวยเหตุผลเดียวกัน เราได้ว่า โดเมนของฟังก์ชัน $y equals cos space x$ คือ เซตของจำนวนจริง $straight real numbers$ และ เรนจ์ของฟังก์ชัน $y equals cos space x$ คือ ช่วงปิด $open square brackets negative 1 comma 1 close square brackets$ เช่นกัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกฟังก์ชันเป็น ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function) และสำหรับฟังก์ชันที่เป็นคาบซึ่งมีค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด จะเห็นว่า

คาบ (period) หมายถึง ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุดที่กราฟในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน
แอมพลิจูด (amplitude) คือ ค่าครึ่งหนึ่งของผลต่างระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง พิจาณา กราฟของ $y equals sin space x$ และ $y equals cos space x$ ด้านบน

เราจะเห็นได้ว่า ทุกๆ ความยาวช่วงย่อยยาว $2 straight pi$ กราฟของ $y equals sin space x$ และ $y equals cos space x$ จะกลับมาซ้ำเดิมอีกครั้ง ดังนั้น เราสรุปว่า คาบ (period) ของทั้งสองฟังก์ชันนี้ มีค่าเท่ากับ $2 straight pi$
และนอกจากนี้ ค่า แอมพลิจูด ของฟังก์ชัน $y equals sin space x$ และ $y equals cos space x$ มีค่าเท่ากับ $fraction numerator 1 minus open parentheses negative 1 close parentheses over denominator 2 end fraction equals 2 over 2 equals 1$

ตัวอย่าง ต่อไป ลองวาดกราฟของ $y equals 2 sin x over 3$

จากกราฟ จะสังเกตได้ว่า

โดเมนของฟังก์ชัน $y equals 2 sin x over 3$ คือ เซตของจำนวนจริง $straight real numbers$
เรนจ์ของฟังก์ชัน $y equals 2 sin x over 3$ คือ ช่วงปิด $open square brackets negative 2 comma 2 close square brackets$
คาบของฟังก์ชัน $y equals 2 sin x over 3$ คือ คาบ เท่ากับ $6 straight pi$
แอมพลิจูดของฟังก์ชัน $y equals 2 sin x over 3$ คือ แอมพลิจูด เท่ากับ 2

ในกรณีทั่วไป เราสามารถสรุปเป็นสูตรได้ดังนี้

คุณสมบัติ	$f open parentheses x close parentheses equals a space sin open parentheses n x close parentheses comma space n greater than 0$	$f open parentheses x close parentheses equals a space cos open parentheses n x close parentheses comma space n greater than 0$
คาบ	$fraction numerator 2 straight pi over denominator n end fraction$	$fraction numerator 2 straight pi over denominator n end fraction$
แอมพลิจูด	$open vertical bar a close vertical bar$	$open vertical bar a close vertical bar$
เรนจ์	$open square brackets negative a comma a close square brackets$	$open square brackets negative a comma a close square brackets$

แบบฝึกหัด จงหาแอมพลิจูดและคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี

แอมพลิจูด คาบ
1.

y equals 1 half sin x

.....

1 half

.... ...

2 straight pi

.......
2.

y equals 3 sin x over 2

....

3

........ .....

4 straight pi

....
3.

y equals 4 cos space 3 x

.....

4

....... ......

fraction numerator 2 straight pi over denominator 3 end fraction

...

เมื่อทราบคาบและแอมพลิจูดของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กำหนดให้แล้ว ทำให้สามารถวาดกราฟคร่าวๆ ของฟังก์ชันดังกล่าวได้ง่ายขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ

วิธีทำ

คาบ คือ …… $2 straight pi$ ………… แอมพลิจูด คือ ……… $3$ …………..

จากกราฟ จะสังเกตได้ว่า
โดเมนของฟังก์ชัน $y equals 3 cos space x$ คือ …เซตของจำนวนจริง … $straight real numbers$ …
เรนจ์ของฟังก์ชัน $y equals 3 cos space x$ คือ …..ช่วงปิด … $open square brackets negative 3 comma 3 close square brackets$ …………

ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของ $y equals 3 cos space 2 x$

วิธีทำ

คาบคือ …… $straight pi$ …………… แอมพลิจูด คือ …… $3$ ………………….

จากกราฟ จะสังเกตได้ว่า
โดเมนของฟังก์ชัน $y equals 3 cos space 2 x$ คือ …เซตของจำนวนจริง … $straight real numbers$ ......
เรนจ์ของฟังก์ชัน $y equals 3 cos space 2 x$ คือ …...ช่วงปิด … $open square brackets negative 3 comma 3 close square brackets$ ………….

นอกจากนี้ ในทำนองเดียวกัน เรายังสามารถเขียนกราฟของ $y equals tan space x$ และส่วนกลับของฟังก์ชันของตรีโกณมิติอีก 3 ฟังก์ชันที่เหลือ ได้ดังนี้

เขียนกราฟของ $y equals tan space x$ ในช่วง $x equals negative fraction numerator 5 straight pi over denominator 2 end fraction$ ถึง $x equals fraction numerator 5 straight pi over denominator 2 end fraction$ ได้ดังนี้

ฟังก์ชัน $y equals tan space x$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ $straight real numbers minus open curly brackets horizontal ellipsis comma negative fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction comma negative straight pi over 2 comma straight pi over 2 comma fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction comma fraction numerator 5 straight pi over denominator 2 end fraction comma horizontal ellipsis close curly brackets$ และมีเรนจ์ คือ เซตของจำนวนจริง $straight real numbers$ โดยที่ คาบของฟังก์ชัน $y equals tan space x$ มีค่าเท่ากับ $straight pi$

เขียนกราฟของ $y equals c s c space x$ ในช่วง $x equals negative fraction numerator 5 straight pi over denominator 2 end fraction$ ถึง $x equals fraction numerator 7 straight pi over denominator 2 end fraction$ ได้ดังนี้

ฟังก์ชัน $y equals c s c space x$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ $straight real numbers minus open curly brackets horizontal ellipsis comma negative 2 straight pi comma negative straight pi comma 0 comma straight pi comma 2 straight pi comma 3 straight pi comma horizontal ellipsis close curly brackets$ และมีเรนจ์ คือ $left parenthesis negative infinity comma negative 1 right square bracket union left square bracket 1 comma infinity right parenthesis$ โดยที่ คาบของฟังก์ชัน $y equals c s c space x$ มีค่าเท่ากับ $2 straight pi$

เขียนกราฟของ $y equals s e c space x$ ในช่วง $x equals negative 3 straight pi$ ถึง $x equals 3 straight pi$ ได้ดังนี้ ได้ดังนี้

ฟังก์ชัน $y equals s e c space x$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ $straight real numbers minus open curly brackets horizontal ellipsis comma negative fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction comma negative straight pi over 2 comma straight pi over 2 comma fraction numerator 3 straight pi over denominator 2 end fraction comma fraction numerator 5 straight pi over denominator 2 end fraction comma horizontal ellipsis close curly brackets$ และมีเรนจ์ คือ $left parenthesis negative infinity comma negative 1 right square bracket union left square bracket 1 comma infinity right parenthesis$ โดยที่ คาบของฟังก์ชัน $y equals s e c space x$ มีค่าเท่ากับ $2 straight pi$

เขียนกราฟของ $y equals c o t space x$ ในช่วง $x equals negative 3 straight pi$ ถึง $x equals 3 straight pi$ ได้ดังนี้

ฟังก์ชัน $y equals c o t space x$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมน คือ $straight real numbers minus open curly brackets horizontal ellipsis comma negative 2 straight pi comma negative straight pi comma 0 comma straight pi comma 2 straight pi comma 3 straight pi comma horizontal ellipsis close curly brackets$ และมีเรนจ์ คือ เซตของจำนวนจริง $straight real numbers$ โดยที่ คาบของฟังก์ชัน $y equals c o t space x$ มีค่าเท่ากับ $straight pi$

กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แบบฝึกหัด