ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การกำหนดค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทำได้โดยใช้วงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด และจะเรียกวงกลมนี้ว่า วงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นกราฟของความสัมพันธ์

open curly brackets right enclose open parentheses x comma y close parentheses element of ¡ cross times ¡ end enclose space x squared plus y squared equals 1 close curly brackets

ให้ $theta$ แทนความยาวส่วนโค้งจากจุด $open parentheses 1 comma 0 close parentheses$ ไปตามส่วนโค้งของรัศมีวงกลมหนึ่งหน่วย

ดังนั้น ความยาวส่วนโค้งในหนึ่งรอบวงกลมหนึ่งหน่วยคือ $theta equals 2 straight pi$ ถ้า $theta greater than 0$ จะวัดส่วน โค้งจากจุด $open parentheses 1 comma 0 close parentheses$ ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ถ้า $theta less than 0$ จะวัดส่วนโค้งจากจุด $open parentheses 1 comma 0 close parentheses$ ไปในทิศทาง ตามเข็มนาฬิกา ให้ $open parentheses x comma y close parentheses$ เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว $open vertical bar theta close vertical bar$ หน่วย นิยามฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์ ดังนี้

ฟังก์ชันไซน์ คือ เซตของคู่อันดับ

open parentheses theta comma y close parentheses

นั่นคือ

y equals sin space theta

ฟังก์ชันโคไซน์ คือ เซตของคู่อันดับ

open parentheses theta comma x close parentheses

นั่นคือ

x equals cos space theta

จากนิยามดังกล่าว จะเห็นได้ว่า $negative 1 less or equal than cos theta less or equal than 1$ และ $negative 1 less or equal than sin space theta less or equal than 1$ และเมื่อพิจารณาเครื่องหมายของแต่ละจตุภาคของระบบพิกัดฉาก และความสมมาตรของจุดบนวงกลม จะได้ว่าความสัมพันธ์

$sin open parentheses 2 n straight pi plus straight theta close parentheses equals sin theta$ และ $cos open parentheses 2 n straight pi plus straight theta close parentheses equals cos theta$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม
$sin open parentheses straight pi minus straight theta close parentheses equals sin theta$ และ $cos open parentheses straight pi minus straight theta close parentheses equals negative cos theta$
$sin open parentheses straight pi plus straight theta close parentheses equals negative sin theta$ และ $cos open parentheses straight pi plus straight theta close parentheses equals negative cos theta$
$sin open parentheses 2 straight pi minus straight theta close parentheses equals negative sin theta$ และ $cos open parentheses 2 straight pi minus straight theta close parentheses equals cos theta$

นอกจากนี้ สำหรับจำนวนจริง $theta$ ใด ๆ สามารถนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่น ๆ ได้ดังนี้

tan theta equals fraction numerator sin theta over denominator cos theta end fraction

เมื่อ

cos theta not equal to 0 space space s e c theta equals fraction numerator 1 over denominator cos theta end fraction

เมื่อ

cos theta not equal to 0

cos e c theta equals fraction numerator 1 over denominator sin theta end fraction

เมื่อ

sin theta not equal to 0 space space c o t theta equals fraction numerator cos theta over denominator sin theta end fraction

เมื่อ

sin theta not equal to 0

ฟังก์ชัน	โดเมน
tan	$¡ minus open curly brackets right enclose x element of ¡ end enclose space x equals fraction numerator open parentheses 2 n minus 1 close parentheses straight pi over denominator 2 end fraction comma n element of I close curly brackets$
sec	$¡ minus open curly brackets right enclose x element of ¡ end enclose space x equals fraction numerator open parentheses 2 n minus 1 close parentheses straight pi over denominator 2 end fraction comma n element of I close curly brackets$
cosec	$¡ minus open curly brackets right enclose x element of ¡ end enclose space x equals n straight pi comma straight n element of straight I close curly brackets$
cot $blank$	$¡ minus open curly brackets right enclose x element of ¡ end enclose space x equals n straight pi comma straight n element of straight I close curly brackets$

ฟังก์ชัน	เรนจ์
tan	$¡$
sec	$¡ minus open curly brackets right enclose x element of ¡ end enclose space minus 1 less than x less than 1 close curly brackets$
cosec	$¡ minus open curly brackets right enclose x element of ¡ end enclose space minus 1 less than x less than 1 close curly brackets$
cot	$¡$

จากนิยามข้างต้น สามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่าง ๆ ได้ดังนี้

$c o t theta equals fraction numerator 1 over denominator tan theta end fraction$ เมื่อ $tan theta not equal to 0$ หรือ $sin theta not equal to 0$
$1 plus tan squared theta equals s e c squared theta$ เมื่อ $cos theta not equal to 0$
$1 plus c o t squared theta equals cos e c squared theta$ เมื่อ $sin theta not equal to 0$

หน่วยในการวัดมุม

องศา (^๐ ) โดยถือว่ามุมที่เกิดจากการหมุนของส่วนของเส้นตรงไปครบหนึ่งรอบมีขนาด 360 องศา
เรเดียน คำนวณมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมโดยหาอัตราส่วนของความยาวส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับมุมต่อรัศมีของวงกลมนั้น

ขนาดมุม $theta equals a over r$

จากการคำนวณข้างต้น สามารถแปลงมุมระหว่างหน่วยองศาและหน่วยเรเดียน ได้ดังนี้

แปลงมุมในหน่วยองศาเป็นหน่วยเรเดียน โดยการนำ $straight pi over 180$ คูณมุมในหน่วยองศา
แปลงมุมในหน่วยเรเดียนเป็นหน่วยองศา โดยการนำ $180 over straight pi$ คูณมุมในหน่วยเรเดียน

ตารางแสดงค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนจริงบางจำนวน

$theta$ (องศา)	$theta$ $begin mathsize 8px style blank end style$ (เรเดียน)	$sin theta$	$cos theta$	$tan theta$
$0 degree$	$0$	$0$	$1$	$0$
$30 degree$	$straight pi over 6$	$1 half$	$fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction$	$fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction$
$45 degree$	$straight pi over 4$	$fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction$	$fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction$	$1$
$60 degree$	$straight pi over 3$	$fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction$	$1 half$	$square root of 3$
$90 degree$	$straight pi over 2$	$1$	$0$	$ไม ่ น ิ ยาม$

$theta$ (องศา)	$theta$ (เรเดียน)	$cos e c theta$	$s e c theta$	$c o t theta$
$0 degree$	$0$	$ไม ่ น ิ ยาม$	$1$	$ไม ่ น ิ ยาม$
$30 degree$	$straight pi over 6$	$2$	$fraction numerator 2 square root of 3 over denominator 3 end fraction$	$square root of 3$
$45 degree$	$straight pi over 4$	$square root of 2$	$square root of 2$	$1$
$60 degree$	$straight pi over 3$	$fraction numerator 2 square root of 3 over denominator 3 end fraction$	$2$	$fraction numerator square root of 3 over denominator 3 end fraction$
$90 degree$	$straight pi over 2$	$1$	$ไม ่ น ิ ยาม$	$0$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

แบบฝึกหัด

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ชุดที่ 1)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ชุดที่ 2)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ชุดที่ 3)

เนื้อหา

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หน่วยในการวัดมุม

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ