การแก้ปัญหาโดยใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันกำลังสองและกราฟ

ฟังก์ชันกำลังสอง $y equals a x squared plus b x plus c comma a not equal to 0$ มีลักษณะของกราฟเป็นเส้นโค้งหงายเมื่อ $a greater than 0$ และเป็นเส้นโค้งคว่ำเมื่อ $a less than 0$ ซึ่งในกรณีที่กราฟเป็นเส้นโค้งหงาย จุดวกกลับของกราฟจะเป็นจุดที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าต่ำสุด ส่วนกรณีที่กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำ จุดวกกลับของกราฟจะเป็นจุดที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด เราจึงสามารถนำความรู้เรื่องกราฟของฟังก์ชันกำลังสองมาประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดได้

ตัวอย่างที่1 ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันโดยที่ $f open parentheses x close parentheses equals 2 x squared minus 8 x plus 6$

วิธีทำ
กราฟของฟังก์ชันจะเป็นเส้นโค้งหงาย เมื่อจัดรูปใหม่จะได้

$y equals 2 open parentheses x squared minus 4 x plus 3 close parentheses space space equals 2 open parentheses x squared minus 4 x plus 4 minus 1 close parentheses space space equals 2 open parentheses open parentheses x minus 2 close parentheses squared minus 1 close parentheses space space space equals 2 open parentheses x minus 2 close parentheses squared minus 2 y plus 2 equals 2 open parentheses x minus 2 close parentheses squared$

ซึ่งจะได้ว่า จุดวกกลับของกราฟคือ $open parentheses 2 comma negative 2 close parentheses$
และค่าต่ำสุดของฟังก์ชันคือ $negative 2$

ตัวอย่างที่ 2 เจ้าของฟาร์มแกะแห่งหนึ่งต้องการล้อมรั้วที่ดินซึ่งอยู่ริมคลองให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยด้านที่ติดคลองไม่ต้องมีรั้วกั้น ถ้ามีวัสดุในการทำรั้วได้ยาวเพียง 240 เมตร จะสามารถล้อมรั้วให้มีพื้นที่มากที่สุดได้เท่าใด และต้องล้อมรั้วโดยให้มีความกว้างและความยาวเท่าใด

วิธีทำ
ให้ $x$ แทนความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (เมตร)
เนื่องจากมีวัสดุในการทำรั้วซึ่งมี 3 ด้าน
ได้ยาวเพียง 240 เมตร โดยด้านกว้างมี 2 ด้าน
ด้านยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจึงยาวเท่ากับ $240 minus 2 x$ เมตร
ถ้าให้ $y$ แทนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะได้
$y equals x open parentheses 240 minus 2 x close parentheses equals 240 x minus 2 x squared$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันกำลังสองที่มีลักษณะกราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำ
จุดวกกลับของกราฟจะเป็นจุดที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าสูงสุด นั่นคือทำให้ได้พื้นที่มากที่สุด

เมื่อจัดรูปสมการเพื่อหาจุดวกกลับจะได้
$begin mathsize 14px style y equals negative 2 open parentheses x squared minus 120 x close parentheses space space space equals negative 2 open parentheses x squared minus open parentheses 2 close parentheses open parentheses 60 close parentheses x plus open parentheses 60 close parentheses squared minus open parentheses 60 close parentheses squared close parentheses space space equals negative 2 open parentheses open parentheses x minus 60 close parentheses squared minus open parentheses 60 close parentheses squared close parentheses space space equals negative 2 open parentheses x minus 60 close parentheses squared plus 7200 y minus 7200 equals negative 2 open parentheses x minus 60 close parentheses squared end style$

จะได้ว่า จุดวกกลับของกราฟคือ $open parentheses 60 comma 7200 close parentheses$
และค่าสูงสุดของฟังก์ชันคือ $y equals 7200$ เมื่อ $x equals 60$

ดังนั้น เจ้าของฟาร์มแกะจะสามารถล้อมรั้วให้มีพื้นที่มากที่สุดเท่ากับ $7200$ ตารางเมตร เมื่อล้อมรั้วโดยให้มีความกว้าง $60$ เมตร และมีความยาว $120$ เมตร

การแก้ปัญหาโดยใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชันกำลังสองและกราฟ

แบบฝึกหัด