ฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันประกอบ

ฟังก์ชันประกอบ เป็นฟังก์ชันใหม่ที่สร้างขึ้นจากการนำสองฟังก์ชันใดๆ มาเชื่อมต่อกัน

ถ้ากำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันดังแผนภาพ

จากแผนภาพจะได้ $R subscript f equals open curly brackets a comma c comma d close curly brackets comma space space D subscript g equals open curly brackets a comma b comma c comma d close curly brackets$
$f open parentheses 1 close parentheses equals c comma space f open parentheses 2 close parentheses equals d comma space f open parentheses 3 close parentheses equals a$ และ $g open parentheses a close parentheses equals 4 comma space g open parentheses b close parentheses equals 6 comma space g open parentheses c close parentheses equals 4 comma space g open parentheses d close parentheses equals 6$

จาก $f$ และ $g$ ที่กำหนดให้ ทำให้ได้ว่า

g open parentheses f open parentheses 1 close parentheses close parentheses equals g open parentheses c close parentheses equals 4 space space space space space space space space space space space space space space space g ring operator f open parentheses 1 close parentheses equals 4 g open parentheses f open parentheses 2 close parentheses close parentheses equals g open parentheses d close parentheses equals 6 space space space space space rightwards double arrow space space space space space space g ring operator f open parentheses 2 close parentheses equals 6 g open parentheses f open parentheses 3 close parentheses close parentheses equals g open parentheses a close parentheses equals 4 space space space space space space space space space space space space space space space g ring operator f open parentheses 3 close parentheses equals 4

นั่นคือ

g ring operator f equals open curly brackets open parentheses 1 comma 4 close parentheses comma open parentheses 2 comma 6 close parentheses comma open parentheses 3 comma 4 close parentheses close curly brackets

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $R subscript f intersection D subscript g not equal to empty set$ ทำให้เราสามารถสร้างฟังก์ชันใหม่ได้ เป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต C ซึ่งเขียนแทนฟังก์ชันนี้ด้วย $g ring operator f$ (อ่านว่าจีโอเอฟ) และเรียกว่า ฟังก์ชันประกอบของ $f$ และ $g$

นิยาม กำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $R subscript f intersection D subscript g not equal to empty set$
ฟังก์ชันประกอบของ $f$ และ $g$ เขียนแทนด้วย $g ring operator f$ กำหนดโดย $g ring operator f open parentheses x close parentheses equals g open parentheses f open parentheses x close parentheses close parentheses$
สำหรับทุก $x$ ซึ่ง $f open parentheses x close parentheses element of D subscript g$

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ $f open parentheses x close parentheses equals x squared minus 1$ และ $g open parentheses x close parentheses equals x plus 2$ จงหาฟังก์ชัน $g ring operator f$ และ $f ring operator g$

วิธีทำ
สังเกตว่า $D subscript f equals square$ และ $R subscript f equals left square bracket negative 1 comma infinity right parenthesis$
$D subscript g equals square$ และ $R subscript g equals square$

จะได้ว่า $R subscript f intersection D subscript g not equal to empty set$ และ $R subscript g intersection D subscript f not equal to empty set$

ดังนั้นเราสามารถสร้างฟังก์ชัน
$g ring operator f$ และ $f ring operator g$ ได้
นั่นคือ
$g ring operator f open parentheses x close parentheses equals g open parentheses f open parentheses x close parentheses close parentheses space space space space space space space space space space equals g open parentheses x squared minus 1 close parentheses space space space space space space space space space space equals open parentheses x squared minus 1 close parentheses plus 2 space space space space space space space space space space equals x squared plus 1$
และ
$f ring operator g open parentheses x close parentheses equals f open parentheses g open parentheses x close parentheses close parentheses space space space space space space space space space space equals f open parentheses x plus 2 close parentheses space space space space space space space space space space equals open parentheses x plus 2 close parentheses squared minus 1 space space space space space space space space space space equals x squared plus 4 x plus 3$

ข้อสังเกต จากตัวอย่างข้างต้น $g ring operator f not equal to f ring operator g$

ฟังก์ชันผกผัน

จากที่เรารู้จากหัวข้อก่อนหน้านี้ว่า ฟังก์ชันเป็นรูปแบบหนึ่งของความสัมพันธ์ ดังนั้น การหาตัวผกผันของฟังก์ชันจึงสามารถหาได้เช่นเดียวกับการหาตัวผกผันของความสัมพันธ์ โดยการสลับบทบาทระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับสมาชิกตัวหลังของฟังก์ชันได้ แต่ตัวผกผันของฟังก์ชันไม่จำเป็นฟังก์ชันเสมอไป ตัวอย่างเช่น

กำหนดให้

begin mathsize 12px style f equals open curly brackets open parentheses 1 comma 2 close parentheses comma open parentheses 2 comma 3 close parentheses comma open parentheses 3 comma 4 close parentheses close curly brackets space rightwards double arrow f to the power of negative 1 end exponent open curly brackets open parentheses 2 comma 1 close parentheses comma open parentheses 3 comma 2 close parentheses comma open parentheses 4 comma 3 close parentheses close curly brackets end style

เป็นฟังก์ชัน

begin mathsize 12px style g equals open curly brackets open parentheses 1 comma 2 close parentheses comma open parentheses 2 comma 3 close parentheses comma open parentheses 4 comma 2 close parentheses close curly brackets rightwards double arrow g to the power of negative 1 end exponent equals open curly brackets open parentheses 2 comma 1 close parentheses comma open parentheses 3 comma 2 close parentheses comma open parentheses 2 comma 4 close parentheses close curly brackets end style

ไม่เป็นฟังก์ชัน

เราจะเรียกตัวผกผันของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า ฟังก์ชันผกผัน จากตัวอย่างข้างต้นนั้น จะเห็นว่า ฟังก์ชันที่หาฟังก์ชันผกผันได้นั้น จะต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

สมบัติของฟังก์ชันผกผัน

กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน

1. $f to the power of negative 1 end exponent$ เป็นฟังก์ชัน เมื่อ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
2. $D subscript f equals R subscript f to the power of negative 1 end exponent end subscript$ และ $R subscript f equals D subscript f to the power of negative 1 end exponent end subscript$

ตัวอย่างที่2 กำหนดให้ $f open parentheses x close parentheses equals 4 x plus 3$ จงหาฟังก์ชัน $f to the power of negative 1 end exponent$

วิธีทำ
เนื่องจาก $f open parentheses x close parentheses equals 4 x plus 3$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นตัวผกผันของ $f$ เป็นฟังก์ชัน
ในการหา $f to the power of negative 1 end exponent$ นั้นเริ่มต้นให้ $y equals 4 x plus 3$
จากนั้นสลับบทบาทระหว่าง $x$ กับ $y$ นั่นคือ $x equals 4 y plus 3$
แก้สมการหาค่า $y$ จะได้ $y equals fraction numerator x minus 3 over denominator 4 end fraction$

ดังนั้น $f to the power of negative 1 end exponent open parentheses x close parentheses equals fraction numerator x minus 3 over denominator 4 end fraction$

ฟังก์ชันประกอบและฟังก์ชันผกผัน

แบบฝึกหัด