ฟังก์ชันเชิงเส้นและกำลังสอง

ฟังก์ชันเชิงเส้น

คือ ฟังก์ชัน ที่อยู่ในรูป $f open parentheses x close parentheses equals a x plus b$ เมื่อ $a comma b$ เป็นจำนวนจริง

ตัวอย่างเช่น

ข้อสังเกต
1. ฟังก์ชัน $f open parentheses x close parentheses equals a x plus b$ ถ้า $a equals 0$ แล้ว $f open parentheses x close parentheses equals b$ ซึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันคงตัว (constant function) โดยกราฟของฟังก์ชันคงตัวจะเป็นเส้นตรงขนานกับแกน $X$
2.กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะเป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน $Y$
3. ค่า $blank subscript a$ เป็นค่าที่บอกให้ทราบถึงความชันของกราฟ นั่นคือ ถ้า $a greater than 0$ กราฟจะมีลักษณะเป็นเส้นตรงเฉียงขึ้น และ $a less than 0$ กราฟจะมีลักษณะเป็นเส้นตรงเฉียงลง หากขนาดของค่า ยิ่งมากเส้นกราฟยิ่งตั้งขึ้น
4. ค่า $b$ เป็นค่าที่บอกถึงระยะตัดแกน $Y$ ซึ่งอยู่ ณ จุด $open parentheses 0 comma b close parentheses$

ฟังก์ชันกำลังสอง

คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $f open parentheses x close parentheses equals a x squared plus b x plus c$ เมื่อ $a comma b comma c$ เป็นจำนวนจริง และ $a not equal to 0$ กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะขึ้นอยู่ค่าของ $a comma b comma c$

ตัวอย่างเช่น

จากตัวอย่าง จะเห็นว่า กราฟของฟังก์ชันกำลังสองนั้นจะมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา และเราสามารถจัดรูปของ $f open parentheses x close parentheses equals a x squared plus b x plus c$ ใหม่โดยใช้วิธีกำลังสองสมบูรณ์ จะได้

f open parentheses x close parentheses equals a open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared minus fraction numerator b squared over denominator 4 a end fraction plus c space space space space space space equals a open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared plus fraction numerator 4 a c minus b squared over denominator 4 a end fraction

กำหนดให้ $h equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction$ และ $k equals fraction numerator 4 a c minus b squared over denominator 4 a end fraction$ ดังนั้น $f open parentheses x close parentheses equals a open parentheses x minus h close parentheses squared plus k$
โดยที่ $open parentheses h comma k close parentheses$ เป็นจุดวกกลับของพาราโบลาซึ่งเป็นจุดยอดที่สามารถบอกได้ว่าค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน $f$ เป็นเท่าไหร่ เมื่อเราพิจารณาจากค่า $a$

ถ้า $a greater than 0$ แล้วกราฟจะเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น จะไม่มีจุดสูงสุด แต่มี $open parentheses h comma k close parentheses$ เป็นจุดต่ำสุด และ $f open parentheses h close parentheses equals k$ เป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน $f$
ถ้า $a less than 0$ แล้วกราฟจะเป็น เส้นโค้งคว่ำลง จะไม่มีจุดต่ำสุด แต่มี $open parentheses h comma k close parentheses$ เป็นจุดสูงสุด และ $f open parentheses h close parentheses equals k$ เป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน $f$

จากตัวอย่างข้างต้นนั้น สามารถบอกได้ว่า

ฟังก์ชัน

f open parentheses x close parentheses equals x squared plus x minus 2

อยู่ในรูปฟังก์ชันกำลังสองซึ่ง

a equals 1 comma b equals 1 comma c equals negative 2

มีจุดต่ำสุดคือ

open parentheses h comma k close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator 2 open parentheses 1 close parentheses end fraction comma fraction numerator 4 open parentheses 1 close parentheses open parentheses negative 2 close parentheses minus 1 squared over denominator 4 open parentheses 1 close parentheses end fraction close parentheses equals open parentheses negative 1 half comma negative 9 over 4 close parentheses

และค่าต่ำสุดคือ

negative 9 over 4

ฟังก์ชัน

f open parentheses x close parentheses equals negative 2 x squared plus 3 x plus 2

อยู่ในรูปฟังก์ชันกำลังสองซึ่ง

a equals negative 2 comma space b equals 3 space comma c equals 2

มีจุดสูงสุดคือ

open parentheses h comma k close parentheses equals open parentheses negative fraction numerator 3 over denominator 2 open parentheses negative 2 close parentheses end fraction comma fraction numerator 4 open parentheses negative 2 close parentheses open parentheses 2 close parentheses minus 3 squared over denominator 4 open parentheses negative 2 close parentheses end fraction close parentheses equals open parentheses 3 over 4 comma 25 over 8 close parentheses

และค่าสูงสุดคือ

25 over 8

ฟังก์ชันเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสอง

แบบฝึกหัด