คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

การจับคู่กันระหว่างสิ่งสองสิ่งที่มีความสัมพันธ์กัน แล้วเขียนแสดงในวงเล็บโดยมีเครื่องหมายจุลภาคคั่น จะเรียกว่า คู่อันดับ (Order Pairs) ซึ่งเขียนได้ในรูป $open parentheses a comma b close parentheses$ โดยที่ $a$ เป็นสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ และ $b$ เป็นสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ เช่น คู่อันดับ $open parentheses 1 comma 2 close parentheses$ จะมี $1$ เป็นสมาชิกตัวหน้า และ $2$ เป็นสมาชิกตัวหลัง ในขณะที่คู่อันดับ $open parentheses 2 comma 1 close parentheses$ จะมี $2$ เป็นสมาชิกตัวหน้า และ $1$ เป็นสมาชิกตัวหลัง เราจะเห็นได้ว่าคู่อันดับ $open parentheses 1 comma 2 close parentheses$ แตกต่างจาก $open parentheses 2 comma 1 close parentheses$ นั่นคือ คู่อันดับ $open parentheses a comma b close parentheses not equal to open parentheses b comma a close parentheses$ ยกเว้นกรณีที่ $a equals b$

การเท่ากันของคู่อันดับ

ถ้ากำหนดให้

open parentheses a comma b close parentheses

และ

open parentheses c comma d close parentheses

เป็นคู่อันดับใดๆ

open parentheses a comma b close parentheses equals open parentheses c comma d close parentheses

ก็ต่อเมื่อ

a equals c

และ

b equals d

ตัวอย่างที่ 1

ถ้า $open parentheses 1 comma y close parentheses equals open parentheses x comma 3 close parentheses$ จะได้ว่า $x equals 1$ และ $y equals 3$

ผลคุณคาร์ทีเซียน (Cartesian product)

ผลคุณคาร์ทีเซียน (Cartesian product) ของเซต $A$ และเซต $B$ เขียนแทนด้วย $A cross times B$ คือ เซตของคู่อันดับทั้งหมดที่สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับมาจากเซต $A$ และสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับมาจากเซต $B$ ซึ่งเขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้

A cross times B space equals open curly brackets right enclose open parentheses a comma b close parentheses space end enclose space a element of A space และ space b element of B close curly brackets

ตัวอย่างที่2 กำหนดให้ $A equals open curly brackets 1 comma 2 comma 3 close curly brackets$ และ $B equals open curly brackets c comma d close curly brackets$ จะได้

$begin mathsize 12px style A cross times B space equals open curly brackets open parentheses 1 comma c close parentheses comma open parentheses 1 comma d close parentheses comma open parentheses 2 comma c close parentheses comma open parentheses 2 comma d close parentheses comma open parentheses 3 comma c close parentheses comma open parentheses 3 comma d close parentheses close curly brackets B cross times A equals open curly brackets open parentheses c comma 1 close parentheses comma open parentheses c comma 2 close parentheses comma open parentheses c comma 3 close parentheses comma open parentheses d comma 1 close parentheses comma open parentheses d comma 2 close parentheses comma open parentheses d comma 3 close parentheses close curly brackets end style$
( จะเห็นได้ว่า ) $begin mathsize 10px style A cross times B not equal to B cross times A end style$
$begin mathsize 12px style A cross times A equals open curly brackets open parentheses 1 comma 1 close parentheses comma open parentheses 1 comma 2 close parentheses comma open parentheses 1 comma 3 close parentheses comma open parentheses 2 comma 1 close parentheses comma open parentheses 2 comma 2 close parentheses comma open parentheses 2 comma 3 close parentheses comma open parentheses 3 comma 1 close parentheses comma open parentheses 3 comma 2 close parentheses comma open parentheses 3 comma 3 close parentheses close curly brackets B cross times B equals open curly brackets open parentheses c comma c close parentheses comma open parentheses c comma d close parentheses comma open parentheses d comma c close parentheses open parentheses d comma d close parentheses close curly brackets end style$

เมื่อพิจารณาจำนวนสมาชิกของเซต $A$ และเซต $B$ ในตัวอย่างที่ 1.2 ถ้ากำหนดให้ $n open parentheses A close parentheses$ แทนจำนวนสมาชิกของเซต $A$ และ $n open parentheses B close parentheses$ แทนจำนวนสมาชิกของเซต $B$ จะได้ว่า $n open parentheses A close parentheses equals 3$ และ $n open parentheses B close parentheses equals 2$ จะสังเกตได้ว่าจำนวนสมาชิกของ $A cross times B$ จะเท่ากับจำนวนสมาชิกของเซต $A$ คูณกับจำนวนสมาชิกของเซต $B$ นั่นคือ

$n open parentheses A cross times B close parentheses equals n open parentheses A close parentheses cross times n open parentheses B close parentheses$

คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

แบบฝึกหัด