สมการพหุนามดีกรี n ที่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน

สมการพหุนามจะอยู่ในรูป

x equals a subscript n x to the power of n plus a subscript n minus 1 end subscript x to the power of n minus 1 end exponent plus horizontal ellipsis plus a subscript 1 x plus a subscript 0

โดยที่

a subscript n not equal to 0

และทุกๆ

a subscript k

เมื่อ

k equals 0 comma 1 horizontal ellipsis comma n

เป็นจำนวนจริง

สมการพหุนามที่จะพิจารณาในที่นี้ จะพิจารณาเฉพาะกรณีที่รากของสมการเป็นจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้นและจะพิจารณาจากกรณีที่ง่ายสุดคือ เมื่อ $n equals 2$ ขยายไปถึงจำนวนเต็มบวก n ใดๆ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบของสมการ $x squared plus x plus 1 equals 0$

วิธีทำ
จากสมการ $x squared plus x plus 1 equals 0$
โดยสูตรการหารากของสมการ $x equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction$
แทนค่า $a equals 1 comma b equals 1 comma c equals 1$
จะได้ $x equals fraction numerator negative 1 plus-or-minus square root of 1 squared end root minus 4 times 1 times 1 over denominator 2 times 1 end fraction equals fraction numerator negative 1 plus-or-minus square root of negative 3 end root over denominator 2 end fraction$

ดังนั้น รากของสมการคือ $x subscript 1 equals fraction numerator negative 1 plus-or-minus square root of negative 3 end root over denominator 2 end fraction$ หรือ $x subscript 2 equals fraction numerator negative 1 minus square root of negative 3 end root over denominator 2 end fraction$

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของสมการ $x cubed plus 4 x squared plus x plus 4 equals 0$

วิธีทำ
จากสมการ $x cubed plus 4 x squared plus x plus 4 equals 0$
จะได้
$x squared open parentheses x plus 4 close parentheses plus open parentheses x plus 4 close parentheses equals 0 open parentheses x squared plus 1 close parentheses open parentheses x plus 4 close parentheses equals 0$

ดังนั้น $open parentheses x squared plus 1 close parentheses equals 0$ หรือ $open parentheses x plus 4 close parentheses equals 0$

นั่นคือ $x equals i$ หรือ $x equals negative i$ หรือ $x equals negative 4$ เป็นรากของสมการ

ผลคูณและผลบวกของรากพหุนามดีกรีสองและดีกรีสาม

พิจารณาเฉพาะดีกรี n=2 และ n=3 เท่านั้น ดังทฤษฎีต่อไปนี้

ทฤษฎีบท
1. ถ้า $alpha subscript 1 comma alpha subscript 2$ เป็นรากของสมการพหุนาม $a subscript 2 x squared plus a subscript 1 x plus a subscript 0 equals 0$ แล้ว
1.1 ผลบวกรากของสมการคือ

alpha subscript 1 plus alpha subscript 2 equals negative a subscript 1 over a subscript 2

1.2 ผลคูณรากของสมการคือ

alpha subscript 1 times alpha subscript 2 equals a subscript 0 over a subscript 2

2. ถ้า $alpha subscript 1 comma alpha subscript 2 comma alpha subscript 3$ เป็นรากของสมการพหุนาม $a subscript 3 x cubed plus a subscript 2 x squared plus a subscript 1 x plus a subscript 0 equals 0$ แล้ว
2.1 ผลบวกรากของสมการคือ

alpha subscript 1 plus alpha subscript 2 plus alpha subscript 3 equals negative a subscript 2 over a subscript 3

และ

alpha subscript 1 alpha subscript 2 plus alpha subscript 2 alpha subscript 3 plus alpha subscript 1 alpha subscript 3 equals a subscript 1 over a subscript 3

2.2 ผลคูณรากของสมการคือ

alpha subscript 1 times alpha subscript 2 times alpha subscript 3 equals a subscript 0 over a subscript 3

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลบวกและผลคูณของคำตอบของสมการ $x squared plus x plus 1 equals 0$

วิธีทำ
จากสมการ $x squared plus x plus 1 equals 0$

ดังนั้น ผลบวกรากของสมการคือ $alpha subscript 1 plus alpha subscript 2 equals negative a subscript 1 over a subscript 2$ นั่นคือ $alpha subscript 1 plus alpha subscript 2 equals negative 1 over 1$
และผลคูณรากของสมการคือ $alpha subscript 1 times alpha subscript 2 equals 1 over 1 equals 1$

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลบวกและผลคูณของคำตอบของสมการ $x cubed plus 4 x squared plus x plus 4 equals 0$

วิธีทำ
จากสมการ $x cubed plus 4 x squared plus x plus 4 equals 0$ จะได้

ดังนั้น ผลบวกรากของสมการคือ $a subscript 1 plus a subscript 2 plus a subscript 3 equals negative 4 over 1 equals negative 4$
และ $a subscript 1 a subscript 2 plus a subscript 2 a subscript 3 plus a subscript 1 a subscript 3 equals 1 fourth$
และผลคูณรากของสมการคือ $a subscript 1 times a subscript 2 times a subscript 3 equals negative 4 over 4 equals negative 1$

การแก้ปัญหาสมการพหุนามตัวแปรเดียว

แบบฝึกหัด

การแก้ปัญหาสมการพหุนามตัวแปรเดียว

การแก้ปัญหาสมการพหุนามตัวแปรเดียว

การแก้ปัญหาสมการพหุนามตัวแปรเดียว

เนื้อหา

สมการพหุนามดีกรี n ที่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อน

ผลคูณและผลบวกของรากพหุนามดีกรีสองและดีกรีสาม

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ