จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
(Complex Numbers in polar Form)

นิยาม 1 รูปเชิงขั้วของจำนวนเชิงซ้อน $Z equals x plus y i$ คือ $Z equals r left parenthesis cos theta plus i sin theta right parenthesis$

ข้อสังเกต สำหรับแต่ละจุด $Z$ ในระนาบ จะมีมุม $straight theta subscript 0$ ที่เกี่ยวข้องกับ $Z$ ได้หลายค่า
โดยที่แต่ละค่ามีผลต่างกันเป็นจำนวน $k$ เท่าของ $2 straight pi$ คือ $theta subscript 0 equals theta plus 2 k straight pi$
เมื่อ $k equals 0 comma plus-or-minus 1 comma plus-or-minus 2 comma midline horizontal ellipsis comma 0 less or equal than theta less than 2 straight pi$
ถ้า $negative straight pi less than straight theta less or equal than straight pi$ เราจะเรียก $straight theta$ นี้ว่า ค่ามุขสำคัญ (principal value) ของ $a r g space Z$ และเขียนแทนด้วย $A r g space Z$

การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

กำหนดโดย $Z equals r open parentheses cos theta plus i sin theta close parentheses equals rho open parentheses cos empty set plus i sin empty set close parentheses$
หมายความว่า $r equals rho$ และ $theta equals empty set plus 2 k straight pi$ เมื่อ $k element of I$
เนื่องจาก $top enclose Z equals x minus y i$ มีสมมาตรกับ $Z equals x plus y i$ เมื่อเทียบกับแกน $x$
มี $open vertical bar Z close vertical bar equals open vertical bar top enclose Z close vertical bar equals r comma space A r g top enclose Z equals negative A r g Z$

ดังนั้นรูปเชิงขั้วของ $top enclose Z$ โดยที่ $Z with bar on top equals r open parentheses cos theta minus i sin theta close parentheses$

หมายเหตุ ถ้า $Z$ เป็นจำนวนเต็มลบ จะได้ $A r g Z with bar on top equals A r g Z equals straight pi$

ผลคูณ ผลหาร ของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

กำหนดให้ $Z subscript 1 equals r subscript 1 open parentheses cos theta subscript 1 plus i sin theta subscript 1 close parentheses$ และ $Z subscript 2 equals r subscript 2 open parentheses cos theta subscript 2 plus i sin theta subscript 2 close parentheses$ จะได้

Z subscript 1 times Z subscript 2 equals r subscript 1 r subscript 2 open square brackets open parentheses cos open parentheses theta subscript 1 plus end subscript theta subscript 2 close parentheses plus i sin open parentheses theta subscript 1 plus theta subscript 2 close parentheses close parentheses close square brackets comma a r g open parentheses Z subscript 1 times Z subscript 2 close parentheses equals a r g Z subscript 1 plus a r g Z subscript 2 Z subscript 1 over Z subscript 2 equals r subscript 1 over r subscript 2 open square brackets open parentheses cos open parentheses theta subscript 1 minus theta subscript 2 close parentheses plus i sin open parentheses theta subscript 1 minus theta subscript 2 close parentheses close parentheses close square brackets comma a r g open parentheses Z subscript 1 over Z subscript 2 close parentheses equals a r g Z subscript 1 minus a r g Z subscript 2

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ $z equals 1 plus i$

จงหา
ก) ค่าสัมบูรณ์ของ $z$ หรือ $open vertical bar z close vertical bar$ หรือ $r$
ข) $A r g open parentheses z close parentheses comma a r g open parentheses z close parentheses$
ค) รูปแบบเชิงขั้วของ $z$

วิธีทำ
จาก $z equals 1 plus i$   เขียนแสดงด้วยจุดบนระนาบเชิงซ้อนได้ดังรูป
ก)   จะได้    $r equals open vertical bar z close vertical bar equals square root of 1 squared plus 1 squared end root equals square root of 2$
ข)   จะได้   $tan theta equals 1 over 1 equals 1$
แต่ $tan fraction numerator straight pi over denominator 4 end fraction equals 1 times colon space theta equals straight pi over 4$

นั่นคือ
$a r g open parentheses z close parentheses equals straight pi over 4 comma space straight pi over 4 plus 2 straight pi space comma space straight pi over 4 plus 4 straight pi comma space straight pi over 4 plus 6 straight pi comma horizontal ellipsis arg open parentheses straight z close parentheses equals straight pi over 4 comma space fraction numerator 9 straight pi over denominator 4 end fraction comma space fraction numerator 17 straight pi over denominator 4 end fraction comma space fraction numerator 25 straight pi over denominator 4 end fraction comma horizontal ellipsis space และ A r g open parentheses z close parentheses equals straight pi over 4$
ค) จากรูปแบบเชิงขั้วของ $z equals r open parentheses cos theta plus i sin theta close parentheses$

$z equals 1 plus i equals square root of 2 space end root open parentheses cos straight pi over 4 plus sin theta straight pi over 4 close parentheses$ หรือ
$z equals 1 plus i equals square root of 2 open square brackets cos open parentheses straight pi over 4 plus 2 k straight pi close parentheses plus i sin open parentheses straight pi over 4 plus 2 k straight pi close parentheses close square brackets$

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ $z subscript 1 equals 4 open square brackets cos straight pi over 3 plus i sin straight pi over 3 close square brackets$ และ $z subscript 2 equals 5 open square brackets cos open parentheses negative straight pi over 12 close parentheses plus i sin open parentheses negative straight pi over 12 close parentheses close square brackets$

จงเขียน $z subscript 1 comma z subscript 2$ ให้อยู่ในรูป $a plus b i$
วิธีทำ
ก)
$z subscript 1 equals 4 open square brackets cos straight pi over 3 plus i sin straight pi over 3 close square brackets space space space equals 4 cos straight pi over 3 plus 4 sin straight pi over 3 space space space equals 4 open parentheses 1 half close parentheses plus 4 i open parentheses fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction close parentheses space space space equals 2 plus 2 square root of 3 i end root$
ข)
$z subscript 2 equals 5 open square brackets cos open parentheses negative straight pi over 12 close parentheses plus i sin open parentheses negative straight pi over 12 close parentheses close square brackets space space space equals 5 cos open parentheses negative straight pi over 12 close parentheses plus 5 i sin open parentheses negative straight pi over 12 close parentheses space space space equals 5 open square brackets fraction numerator square root of 6 minus square root of 2 end root over denominator 4 end fraction close square brackets plus 5 i open square brackets fraction numerator negative square root of 6 plus square root of 2 end root over denominator 4 end fraction close square brackets space space space equals 5 over 4 open square brackets square root of 6 minus square root of 2 end root close square brackets minus 5 over 4 open square brackets square root of 6 plus square root of 2 end root close square brackets i z subscript 2 equals 5 over 4 open square brackets square root of 6 minus square root of 2 end root close square brackets minus 5 over 4 open square brackets square root of 6 plus square root of 2 end root close square brackets i$

Euler’ s formula

กำหนดให้ $e to the power of i theta end exponent equals cos theta plus i sin theta$
รูปแบบนี้มีชื่อเรียกว่า รูปของออยเลอร์ (Euler’s formula)

โดยที่ $e to the power of i theta end exponent equals cos theta plus i sin theta$ มีคุณสมบัติต่อไปนี้
1.

e to the power of i theta subscript 1 end exponent e to the power of i theta subscript 2 end exponent equals e to the power of i open parentheses theta subscript 1 plus theta subscript 2 close parentheses end exponent

open parentheses e to the power of i theta end exponent close parentheses to the power of negative 1 end exponent equals e to the power of negative i theta end exponent

e to the power of i theta subscript 1 end exponent over e to the power of i theta subscript 2 end exponent equals e to the power of i open parentheses theta subscript 1 minus theta subscript 2 close parentheses end exponent

e to the power of i open parentheses theta plus 2 k straight pi close parentheses end exponent equals e to the power of i theta end exponent

เมื่อ

k equals 0 comma plus-or-minus 1 comma plus-or-minus 2 comma horizontal ellipsis comma 0 less or equal than theta less than 2 straight pi

ดังนั้นสามารถเขียนจำนวนเชิงซ้อนได้เป็น

Z equals r e to the power of i theta end exponent

เรียกรูปแบบนี้ว่า รูปแบบชี้กำลัง (exponential form) ของ

Z

การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
(Power of Complex Numbers)

สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ เมื่อให้ $Z equals r open parentheses cos theta plus i sin theta close parentheses$ จะได้

$Z to the power of n equals r to the power of n open parentheses cos n theta plus i sin n theta close parentheses$ ซึ่งเกิดจากการคูณ $Z$ ด้วยตนเอง $n minus 1$ ครั้ง

ในกรณีที่ $r equals 1$ จะได้ทฤษฎีบทของเดอมัวฟ์
(De – Moivre’ s Theorem)

ทฤษฎีบท 1 $open parentheses cos theta plus i sin theta close parentheses to the power of n equals cos n theta plus i sin n theta$
โดยที่ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ $z equals 2 open square brackets cos straight pi over 3 plus i sin straight pi over 3 close square brackets$

จงหา $z to the power of sigma$
วิธีทำ
จาก
$z equals 2 open square brackets cos straight pi over 3 plus i sin straight pi over 3 close square brackets$
จะได้
$z to the power of sigma equals 2 to the power of sigma open square brackets cos open parentheses 6 times straight pi over 3 close parentheses plus i sin open parentheses 6 times straight pi over 3 close parentheses close square brackets space space space space space equals 64 open square brackets cos 2 straight pi plus isin 2 straight pi close square brackets space space space space space equals 64 open square brackets 1 plus 0 i close square brackets equals 64$

ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ $z equals negative 1 plus i$ จงหา $z to the power of 7$ ในรูปของ $a plus b i$

วิธีทำ
จาก $z equals negative 1 plus i$ เปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบเชิงขั้ว
จะมี $r equals open vertical bar z close vertical bar equals square root of open parentheses negative 1 close parentheses squared plus 1 squared end root equals square root of 2$
และ $tan theta equals fraction numerator 1 over denominator negative 1 end fraction equals negative 1 comma theta equals a r c tan open parentheses negative 1 close parentheses$

เนื่องจาก $open parentheses negative 1 comma 1 close parentheses$ อยู่ในจตุภาคที่ 2 จะได้
$A r g open parentheses z close parentheses equals theta equals fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction$
$therefore space z equals negative 1 plus i equals square root of 2 open square brackets cos fraction numerator square root of 3 straight pi end root over denominator 4 end fraction plus i sin fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction close square brackets$

นั่นคือ
$z to the power of 7 equals open parentheses negative 1 plus i close parentheses to the power of 7 space space space space equals open parentheses square root of 2 close parentheses to the power of 7 open square brackets cos open parentheses 7 times fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction close parentheses plus i sin open parentheses 7 times fraction numerator 3 straight pi over denominator 4 end fraction close parentheses close square brackets space space space space equals 8 square root of 2 open square brackets open parentheses negative 1 half close parentheses plus i open parentheses negative fraction numerator 1 over denominator square root of 2 end fraction close parentheses close square brackets space space space space equals negative 8 minus 8 i$

การหารากของจำนวนเชิงซ้อน (Root of Complex Numbers)

นิยาม 2 สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ ใดๆ จำนวนเชิงซ้อน $zeta$ จะถูกเรียกว่ารากที่ $n$ ของ

จำนวนเชิงซ้อน

Z

ถ้า

zeta to the power of n equals Z

ทฤษฎีบท 2

Z to the power of bevelled 1 over n end exponent equals r to the power of bevelled 1 over n end exponent open square brackets cos open parentheses fraction numerator theta plus 2 k straight pi over denominator n end fraction close parentheses plus i sin open parentheses fraction numerator theta plus 2 k straight pi over denominator n end fraction close parentheses close square brackets

เมื่อ

k equals 0 comma 1 comma 2 comma horizontal ellipsis comma open parentheses n minus 1 close parentheses

วิธีหารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน

กำหนดให้ $z equals r open square brackets cos theta plus i sin theta close square brackets$ หรือ $z equals r open square brackets cos open parentheses theta plus 2 k straight pi close parentheses plus i sin open parentheses theta plus 2 k straight pi close parentheses close square brackets$

จะได้     $z to the power of 1 over n end exponent equals r to the power of 1 over n end exponent open square brackets cos open parentheses fraction numerator theta plus 2 k straight pi over denominator n end fraction close parentheses plus i sin open parentheses fraction numerator theta plus 2 k straight pi over denominator n end fraction close parentheses close square brackets$
$fraction numerator theta plus 2 k straight pi over denominator n end fraction$ จะให้ค่า $z to the power of 1 over n end exponent$ ต่าง ๆ กัน $n$   ค่า คือ $z subscript 0 comma z subscript 1 comma z subscript 2 comma... comma z subscript n$ เมื่อ = 1 , 2 , 3 , … , $n minus 1$
หมายเหตุ   การหารากที่ $n$   ของ $u$ ก็คือการหาผลเฉลยของสมการ    $z to the power of n equals u$
หรือ ก็คือ การหา $u to the power of 1 over n end exponent$   นั่นเอง

ตัวอย่างที่ 6 จงหารากที่ 3 ของ –1
(หมายถึง การหาค่า $z$ จากสมการ $z cubed equals negative 1$ หรือ $z cubed plus 1 equals 0$ )

วิธีทำ $negative 1 equals negative 1 plus 0 i$ เปลี่ยนในรูปแบบเชิงขั้ว
จะมี
$r equals open vertical bar negative 1 plus 0 i close vertical bar equals square root of open parentheses negative 1 close parentheses squared plus 0 squared end root space equals 1 comma tan theta equals fraction numerator 0 over denominator negative 1 end fraction equals 0$
แต่ $open parentheses negative 1 comma 0 close parentheses$ อยู่บนแกน $x$ จะได้ $a r g open parentheses negative 1 plus 0 i close parentheses equals straight pi$
และ
$a r g open parentheses negative 1 plus 0 i close parentheses equals straight pi plus 2 kπ therefore minus 1 equals 1 open square brackets cos open parentheses straight pi plus 2 kπ close parentheses plus i sin open parentheses straight pi plus 2 kπ close parentheses close square brackets$

ดังนั้น $open parentheses negative 1 close parentheses to the power of 1 third end exponent equals 1 to the power of 1 third end exponent open square brackets cos open parentheses fraction numerator straight pi plus 2 kπ over denominator 3 end fraction close parentheses plus i sin fraction numerator straight pi plus 2 kπ over denominator 3 end fraction close square brackets$

เมื่อ $k equals 0$   จะได้     $z subscript 0 equals 1 to the power of 1 third end exponent open square brackets cos straight pi over 3 plus i sin straight pi over 3 close square brackets equals 1 half plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction i$
เมื่อ $k equals 1$   จะได้      $z subscript 1 equals 1 to the power of 1 third end exponent open square brackets cos open parentheses fraction numerator straight pi plus 2 straight pi over denominator 3 end fraction close parentheses plus i sin open parentheses fraction numerator straight pi plus 2 straight pi over denominator 3 end fraction close parentheses close square brackets space space space equals open square brackets cosπ plus i sinπ close square brackets equals negative 1 plus i open parentheses 0 close parentheses equals negative 1$
เมื่อ $k equals 2$ จะได้       $z subscript 2 equals 1 to the power of 1 third end exponent open square brackets cos open parentheses fraction numerator straight pi plus 4 straight pi over denominator 3 end fraction close parentheses plus i sin open parentheses fraction numerator straight pi plus 4 straight pi over denominator 3 end fraction close parentheses close square brackets space space space equals cos fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction plus i sin fraction numerator 5 straight pi over denominator 3 end fraction equals 1 half minus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction i$
นั่นคือ รากที่ 3 ของ –1 คือ $negative 1 comma 1 half plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction i comma 1 half minus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction i$

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกหัด

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

เนื้อหา

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
(Complex Numbers in polar Form)

การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

ผลคูณ ผลหาร ของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

Euler’ s formula

การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
(Power of Complex Numbers)

การหารากของจำนวนเชิงซ้อน (Root of Complex Numbers)

วิธีหารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกหัด

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

รูปเชิงขั้ว และ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน

เนื้อหา

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว (Complex Numbers in polar Form)

การเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

ผลคูณ ผลหาร ของจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว

Euler’ s formula

การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน (Power of Complex Numbers)

การหารากของจำนวนเชิงซ้อน (Root of Complex Numbers)

วิธีหารากที่ ของจำนวนเชิงซ้อน

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ

จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
(Complex Numbers in polar Form)

การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน
(Power of Complex Numbers)

วิธีหารากที่ $n$ ของจำนวนเชิงซ้อน