การบวก คูณ หาร สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม 1 ระบบจำนวนเชิงซ้อน C คือ เซตของคู่อันดับของจำนวนจริงที่ประกอบด้วย 2 ตัวดำเนินการ คือ การบวก $left parenthesis plus right parenthesis$ และการคูณ $left parenthesis cross times right parenthesis$ ซึ่งสอดคล้องกับคุณสมบัติต่อไปนี้

1. การเท่ากัน

open parentheses a plus b close parentheses equals open parentheses c plus d close parentheses

ก็ต่อเมื่อ

a equals c comma b equals d

2. การบวก

open parentheses a comma b close parentheses plus open parentheses c comma d close parentheses equals open parentheses a plus c comma b plus d close parentheses

3. การคูณ

open parentheses a comma b close parentheses cross times open parentheses c comma d close parentheses equals left parenthesis a c minus b d comma space a d plus b c right parenthesis

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกและผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน $open parentheses 1 comma 2 close parentheses comma open parentheses 4 comma negative 1 close parentheses$

วิธีทำ
$open parentheses 1 comma 2 close parentheses plus open parentheses 4 comma negative 1 close parentheses equals open parentheses 1 plus 4 comma 2 plus open parentheses negative 1 close parentheses close parentheses equals open parentheses 5 comma 1 close parentheses open parentheses 1 comma 2 close parentheses cross times open parentheses 4 comma negative 1 close parentheses equals open parentheses 1 times 4 minus 2 times open parentheses negative 1 close parentheses comma 1 times open parentheses negative 1 close parentheses plus 2 times 4 close parentheses space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals space open parentheses 6 comma 7 close parentheses$

คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน

กำหนดให้ เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ $open parentheses a comma b close parentheses comma open parentheses c comma d close parentheses comma open parentheses e comma f close parentheses$

1. คุณสมบัติการสลับที่ของการบวก

blank to the power of open parentheses a comma b close parentheses plus open parentheses c comma d close parentheses equals open parentheses c comma d close parentheses plus open parentheses a comma b close parentheses end exponent

2. คุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ

blank to the power of open parentheses a comma b close parentheses cross times open parentheses c comma d close parentheses equals open parentheses c comma d close parentheses cross times open parentheses a comma b close parentheses end exponent

3. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการบวก

blank to the power of open parentheses a plus b close parentheses plus open square brackets open parentheses c comma d close parentheses plus open parentheses e comma f close parentheses close square brackets equals open square brackets open parentheses a comma b close parentheses plus open parentheses c comma d close parentheses close square brackets plus open parentheses e comma f close parentheses end exponent

4. คุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการคูณ

blank to the power of open parentheses a comma b close parentheses cross times open square brackets open parentheses c comma d close parentheses cross times open parentheses e comma f close parentheses close square brackets equals open square brackets open parentheses a comma b close parentheses cross times open parentheses c comma d close parentheses close square brackets cross times open parentheses e comma f close parentheses end exponent

5. คุณสมบัติการแจกแจง

blank to the power of open parentheses a comma b close parentheses cross times open square brackets open parentheses c comma d close parentheses plus open parentheses e comma f close parentheses close square brackets equals open square brackets open parentheses a plus b close parentheses cross times open parentheses c comma d close parentheses close square brackets plus open square brackets open parentheses a comma b close parentheses cross times open parentheses e comma f close parentheses close square brackets end exponent

6. มีเอกลักษณ์การบวกคือ

open parentheses 0 comma 0 close parentheses

7. จำนวนเชิงซ้อน

open parentheses a comma b close parentheses

ใดๆ มีอินเวอร์สการบวกคือ

open parentheses negative a comma negative b close parentheses

8. มีเอกลักษณ์การคูณคือ

open parentheses 1 comma 0 close parentheses

9. จำนวนเชิงซ้อน

open parentheses a comma b close parentheses

ใดๆ มีอินเวอร์สการคูณคือ

open parentheses fraction numerator a over denominator a squared plus b squared end fraction comma fraction numerator negative b over denominator a squared plus b squared end fraction close parentheses

ตัวอย่างที่ 2 จงหาอินเวอร์สการบวกของจำนวนเชิงซ้อน $open parentheses 3 comma 7 close parentheses comma open parentheses square root of 5 comma end root minus 4 close parentheses$

วิธีทำ
อินเวอร์สการบวกของจำนวนเชิงซ้อน $open parentheses 3 comma 7 close parentheses$ คือ $open parentheses negative 3 comma negative 7 close parentheses$
อินเวอร์สการบวกของจำนวนเชิงซ้อน $open parentheses square root of 5 comma negative 4 close parentheses$ คือ $open parentheses negative square root of 5 comma 4 close parentheses$

ตัวอย่างที่ 3 จงหาอินเวอร์สการคูณของจำนวนเชิงซ้อน $open parentheses 3 comma negative 4 close parentheses$

วิธีทำ
อินเวอร์สการคูณของ $open parentheses 3 comma negative 4 close parentheses$ คือ
$open parentheses fraction numerator 3 over denominator 3 squared plus open parentheses negative 4 squared close parentheses end fraction comma fraction numerator negative 4 over denominator 3 squared plus open parentheses negative 4 squared close parentheses end fraction close parentheses equals open parentheses fraction numerator 3 over denominator 9 plus 16 end fraction comma fraction numerator negative 4 over denominator 9 plus 16 end fraction close parentheses equals open parentheses 3 over 25 comma fraction numerator negative 4 over denominator 25 end fraction close parentheses$

นิยาม 2 สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน $a plus b i$ คือจำนวนเชิงซ้อน $a minus b i$

เขียนแทนด้วย $top enclose a plus b i end enclose equals a minus b i$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $Z subscript 1 comma Z subscript 2$ ใดๆ จะได้ว่า

top enclose Z subscript 1 plus-or-minus Z end enclose subscript 2 equals stack z subscript 1 with bar on top plus-or-minus top enclose z subscript 2 end enclose

top enclose Z subscript 1 times Z end enclose subscript 2 equals top enclose z subscript 1 end enclose times top enclose z subscript 2 end enclose

open parentheses top enclose Z subscript 1 over Z subscript 2 end enclose close parentheses equals fraction numerator top enclose z subscript 1 end enclose over denominator top enclose z subscript 2 end enclose end fraction comma z subscript 2 not equal to 0

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ $z subscript 1 equals 3 plus 2 i$ และ $z subscript 2 equals 5 minus 4 i$

จงหา (ก) $z subscript 1 plus z subscript 2$
(ข) $z subscript 1 minus z subscript 2$
(ค) $z subscript 1 z subscript 2$
(ง) $z subscript 1 over z subscript 2$

วิธีทำ
(ก)
$z subscript 1 plus z subscript 2 equals open parentheses 3 plus 2 i close parentheses plus open parentheses 5 minus 4 i close parentheses equals open parentheses 3 plus 5 close parentheses plus open parentheses 2 plus 4 close parentheses i space space space space space space space space space space space space space equals 8 plus 2 i$
(ข)
$z subscript 1 minus z subscript 2 equals open parentheses 3 plus 2 i close parentheses minus open parentheses 5 minus 4 i close parentheses space space space space space space space space space space space space equals open parentheses 3 minus 5 close parentheses plus open parentheses 2 minus 4 close parentheses i space equals negative 2 plus 6 i$
(ค)
$z subscript 1 z subscript 2 space equals open parentheses 3 plus 2 i close parentheses open parentheses 5 minus 4 i close parentheses space space space space space space space space space equals open parentheses 3 close parentheses open parentheses 5 close parentheses plus open parentheses 3 close parentheses open parentheses negative 4 i close parentheses plus open parentheses 2 i close parentheses open parentheses 5 close parentheses plus open parentheses 2 i close parentheses open parentheses 5 close parentheses plus open parentheses 2 i close parentheses open parentheses negative 4 i close parentheses space space space space space space space space space equals space 15 minus 12 i plus 10 i minus 8 i squared space space space space space space space space space space equals space 15 minus 2 i plus 8 comma open parentheses i squared equals negative 1 close parentheses space space space space space space space space space space equals space 23 minus 2 i$
(ง)
$z subscript 1 over z subscript 2 equals fraction numerator 3 plus 2 i over denominator 5 minus 4 i end fraction equals fraction numerator 3 plus 2 i over denominator 5 minus 4 i end fraction times fraction numerator 5 plus 4 i over denominator 5 plus 4 i end fraction space space space space space space equals fraction numerator 15 minus 8 over denominator 25 plus 16 end fraction plus fraction numerator 10 plus 12 over denominator 25 plus 16 to the power of i end fraction equals 7 over 41 plus 22 over 41 i$ .

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ $open parentheses 2 minus square root of 2 i end root close parentheses divided by open parentheses 3 minus square root of 2 i end root close parentheses$

วิธีทำ
$fraction numerator open parentheses 2 minus square root of 2 i end root close parentheses over denominator open parentheses 3 minus square root of 2 i end root close parentheses end fraction equals fraction numerator open parentheses 2 minus square root of 2 i end root close parentheses over denominator open parentheses 3 minus square root of 2 i end root close parentheses end fraction times fraction numerator open parentheses 3 plus square root of 2 i end root close parentheses over denominator open parentheses 3 plus square root of 2 i end root close parentheses end fraction equals fraction numerator 6 plus 2 square root of 2 i space end root minus 3 square root of 2 i end root minus 4 over denominator 9 minus 2 i end fraction equals fraction numerator 2 minus square root of 2 i end root over denominator 9 minus 2 i end fraction$

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกหัด

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

เนื้อหา

การบวก คูณ หาร สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $Z subscript 1 comma Z subscript 2$ ใดๆ จะได้ว่า

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกหัด

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

การบวกลบคูณหารและสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

เนื้อหา

การบวก คูณ หาร สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน

คุณสมบัติของจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ใดๆ จะได้ว่า

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $Z subscript 1 comma Z subscript 2$ ใดๆ จะได้ว่า