ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน $open parentheses a comma b close parentheses$ ใดๆ เมื่อ $a comma b element of C$ สามารถเขียนแทนด้วยจุดในระนาบในระบบพิกัดฉากได้
โดยมี

แกน $x$ เป็น แกนจริง (real axis) และ
แกน $y$ เป็น แกนจินตภาพ (imaginary axis)

เรียกระนาบที่เกิดจากแกนทั้งสองว่า
ระนาบเชิงซ้อน ( complex plane )

นิยาม 1 ค่าสัมบูรณ์(absolute value)ของจำนวนเชิงซ้อน $a plus b i$ คือ $square root of a squared plus b squared end root$

เขียนแทนด้วย $open vertical bar a plus b i close vertical bar$

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

วิธีทำ
$open vertical bar 2 plus square root of 3 i close vertical bar equals square root of 2 squared plus square root of 3 squared end root equals square root of 4 plus 3 end root equals square root of 7 open vertical bar 3 minus square root of 2 i close vertical bar equals square root of 3 squared plus open parentheses negative square root of 2 close parentheses squared end root equals square root of 9 plus 2 end root equals square root of 11 open vertical bar negative 4 i minus 5 close vertical bar equals square root of open parentheses negative 4 close parentheses squared plus open parentheses negative 5 close parentheses squared end root equals square root of 16 plus 25 end root equals square root of 41 space space space space space space space space space space space space space space space space$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $Z subscript 1 comma Z subscript 2$ ใดๆ จะได้ว่า

open vertical bar Z subscript 1 close vertical bar equals open vertical bar top enclose Z subscript 1 end enclose close vertical bar

open vertical bar Z subscript 1 times Z subscript 2 close vertical bar equals open vertical bar Z subscript 1 close vertical bar times open vertical bar Z subscript 2 close vertical bar

open vertical bar Z subscript 1 close vertical bar equals square root of Z subscript 1 times top enclose top enclose Z subscript 1 end enclose end enclose end root

open vertical bar Z subscript 1 plus Z subscript 2 close vertical bar less or equal than open vertical bar Z subscript 1 close vertical bar plus open vertical bar Z subscript 2 close vertical bar

ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ $z equals 2 plus 3 i$ จงแสดงว่า $open vertical bar Z close vertical bar equals open vertical bar top enclose Z close vertical bar$

วิธีทำ
$open vertical bar Z close vertical bar equals square root of 2 squared plus 3 squared end root equals square root of 13$

และ
$top enclose Z equals 2 minus 3 i comma open vertical bar top enclose Z close vertical bar space space equals square root of 2 squared plus open parentheses negative 3 close parentheses squared end root space space equals square root of 13$

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ $Z subscript 1 equals 3 minus i$ และ $Z subscript 2 equals 2 plus i$

จงแสดงว่า $open vertical bar Z subscript 1 Z subscript 2 close vertical bar equals open vertical bar Z subscript 1 close vertical bar open vertical bar Z subscript 2 close vertical bar$
วิธีทำ
$open vertical bar Z subscript 1 Z subscript 2 close vertical bar equals open vertical bar 7 minus i close vertical bar space space space space space space space space space equals square root of 7 squared plus 1 squared end root space space space space space space space space space equals square root of 50$
และ
$open vertical bar Z subscript 1 close vertical bar open vertical bar Z subscript 2 close vertical bar equals square root of 3 squared plus open parentheses negative 1 close parentheses squared end root times square root of 2 squared plus 1 squared end root space space space space space space space space space equals square root of 10 times square root of 5 space space space space space space space space space equals square root of 50$

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึกหัด