ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

ยอดวิว 0

แบบฝึกหัด

EASY

ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

MEDIUM

ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

HARD

ความหมายของจำนวนเชิงซ้อน

เนื้อหา

จำนวนเชิงซ้อน ( Complex Number )

จำนวนเชิงซ้อนเกิดเนื่องจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์ในการแก้สมการ $x squared plus 1$ ซึ่งจะเห็นได้ว่า เราไม่สามารถหาจำนวนจริงใดๆ ที่แทนใน $x$ แล้วทำให้สมการเป็นจริง นักคณิตศาสตร์จึงสร้างระบบจำนวนขึ้นมาใหม่

นิยาม 1 กำหนดให้ $a comma b$ เป็นจำนวนจริง และให้ $Z$ เป็นคู่อันดับของจำนวนจริง $a comma b$ เขียนแทนด้วย

นิยาม 2 จำนวนเชิงซ้อน คือ จำนวนเลขที่เขียนอยู่ในรูป $a plus b i$

เมื่อ

a comma b

เป็นจำนวนจริง และ

i squared equals negative 1

ให้

c

แทนเซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด นั่นคือ

C equals open curly brackets right enclose a plus b i end enclose space a comma b element of R comma space i equals square root of negative 1 end root close curly brackets

ถ้า

z equals a plus b i

แล้วเราจะ เรียก

a

ว่า ส่วนจริง (real part) ของ

z

จะแทนด้วย

R e left parenthesis z right parenthesis

หรือ

R e left parenthesis z right parenthesis equals a

และ เรียก

b

ว่า ส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ

z

จะแทนด้วย

I m left parenthesis z right parenthesis

หรือ

I m left parenthesis z right parenthesis equals b

นิยาม 3 กำหนดให้ $Z subscript 1 equals a plus b i$ และ $Z subscript 2 equals c plus d i$ แล้ว $Z subscript 1 equals Z subscript 2$ ก็ต่อเมื่อ $a equals c$ และ $b equals d$

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ $Z subscript 1 equals 3 plus 4 i$ และ $Z subscript 2 equals 6 over 2 plus 12 over 3 i$
จงแสดงว่า $Z subscript 1 equals Z subscript 2$

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า $3 equals 6 over 2$ และ $4 equals 12 over 3$ ดังนั้น $Z subscript 1 equals Z subscript 2$

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคำตอบของสมการ $x squared plus 1$

วิธีทำ เนื่องจาก $i squared equals negative 1$ จะได้
$x squared plus 1 equals x squared minus open parentheses negative 1 close parentheses equals 0 x squared minus i squared equals 0 space space น ั่ นค ื อ space open parentheses x plus i close parentheses open parentheses x minus i close parentheses equals 0$

ดังนั้น $x equals i$ หรือ $negative i$

การคำนวณค่า $i to the power of n$ เมื่อ n เป็นจำนวนนับ ซึ่งจะมีวิธีคำนวณดังนี้
$i to the power of 1 equals i i squared equals negative 1 i cubed equals negative i i to the power of 4 equals 1$