อสมการค่าสัมบูรณ์

การแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์

สามารถแก้ได้โดยใช้นิยามของค่าสัมบูรณ์หรือใช้ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท ให้

blank to the power of a

เป็นจำนวนจริงบวก จะได้ว่า
1.

begin mathsize 12px style open vertical bar x close vertical bar less than a end style

ก็ต่อเมื่อ

begin mathsize 12px style negative a less than x less than a end style

begin mathsize 12px style open vertical bar x close vertical bar less or equal than a end style

ก็ต่อเมื่อ

begin mathsize 12px style negative a less or equal than x less or equal than a end style

begin mathsize 12px style open vertical bar x close vertical bar greater than a end style

ก็ต่อเมื่อ

begin mathsize 12px style x less than negative a end style

หรือ

begin mathsize 12px style x greater than a end style

begin mathsize 12px style open vertical bar x close vertical bar greater or equal than a end style

ก็ต่อเมื่อ

begin mathsize 12px style x less or equal than negative a end style

หรือ

begin mathsize 12px style x greater or equal than a end style

begin mathsize 12px style open vertical bar x close vertical bar squared equals x squared end style

6. ถ้า

begin mathsize 12px style 0 less or equal than a less or equal than b end style

แล้ว

begin mathsize 12px style a squared less or equal than b squared end style

1.) ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของ $open vertical bar negative 3 x plus 2 close vertical bar less than 5$

วิธีทำ     จากทฤษฎีบทจะได้ว่า (หารอสมการด้วย -3 และกลับเครื่องหมาย)
$begin mathsize 14px style negative 5 less than negative 3 x plus 2 less than 5 minus 7 less than negative 3 x less than 3 space left parenthesis space ลบอสมการด ้ วย space 2 space right parenthesis end style$
   $begin mathsize 14px style 7 over 3 greater than x greater than negative 1 end style$ (หารอสมการด้วย -3 และกลับเครื่องหมาย)

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ $open curly brackets right enclose x minus 1 less than x less than 7 over 3 close curly brackets$

2.) ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของ $open vertical bar x minus 3 close vertical bar greater than 2 x minus 8$

วิธีทำ
จะแก้อสมการโดยใช้นิยาม โดยแยกออกเป็น 2 กรณีดังนี้

กรณีที่ 1
ถ้า $x greater or equal than 3$ จะได้ $x minus 3 greater or equal than 0$
ดังนั้น $open vertical bar x minus 3 close vertical bar equals x minus 3$
ในกรณีนี้จะได้
$x minus 3 greater than 2 x minus 8 x less than 5$

หาผลตัด (intersection) ของเงื่อนไข $open parentheses x greater or equal than 3 close parentheses$
และค่าของ $x$ ที่ได้จากการแก้อสมการ $open parentheses x less than 5 close parentheses$
จะได้ $x element of open square brackets 3 comma infinity close parentheses intersection open parentheses negative infinity comma 5 close parentheses equals left square bracket 3 comma 5 right parenthesis$

กรณีที่ 2
ถ้า $x less than 3$ จะได้ $x minus 3 less than 0$
ดังนั้น $open vertical bar x minus 3 close vertical bar equals negative open parentheses x minus 3 close parentheses equals 3 minus x$
ในกรณีนี้จะได้
$begin mathsize 12px style 3 minus x greater than 2 x minus 8 x less than 11 over 3 end style$

หาผลตัด (intersection) ของเงื่อนไข $open parentheses x less than 3 close parentheses$
และค่าของ $x$ ที่ได้จากการ
แก้อสมการ $open parentheses x 11 over 3 close parentheses$ จะได้
$begin mathsize 14px style x element of open parentheses negative infinity comma 3 close parentheses intersection open parentheses negative infinity comma 11 over 3 close parentheses equals open parentheses negative infinity comma 3 close parentheses end style$

จากกรณีทั้งสอง จะได้เซตคำตอบคือ $left square bracket 3 comma 5 right parenthesis union open parentheses negative infinity comma 3 close parentheses equals open parentheses negative infinity comma 5 close parentheses$

3.) ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของ $open vertical bar x minus 3 close vertical bar less or equal than open vertical bar x minus 1 close vertical bar$

วิธีทำ
เนื่องจาก $open vertical bar x minus 3 close vertical bar greater or equal than 0$ และ $open vertical bar x minus 1 close vertical bar greater or equal than 0$
ดังนั้นหากยกกำลังสองทั้งสองข้างอสมการยังคงเป็นจริง
นั่นคือ
$open vertical bar x minus 3 close vertical bar squared less or equal than open vertical bar x minus 1 close vertical bar squared open parentheses x minus 3 close parentheses squared less or equal than open parentheses x minus 1 close parentheses squared x squared minus 6 x plus 9 less or equal than x squared minus 2 x plus 1 minus 4 x less or equal than negative 8 x greater or equal than 2$

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ $open curly brackets right enclose x x greater or equal than 2 close curly brackets$

อสมการค่าสัมบูรณ์

แบบฝึกหัด