สมบัติของอสมการ

ให้ $a comma b comma c$ เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่าสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง

สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า $a greater than b$ และ $b greater than c$ แล้ว $a greater than c$

สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน
ถ้า $a greater than b$ แล้ว $a plus b greater than b plus c$

สมบัติการคูณด้วยจำนวนจริงที่เท่ากัน
3.1) ถ้า $a greater than b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว $a c greater than b c$
3.2) ถ้า $a greater than b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงลบแล้ว $a c less than b c$

สมบัติการหารด้วยจำนวนจริงที่เท่ากัน
4.1) ถ้า $a greater than b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว $a over c greater than b over c$
4.2) ถ้า $a greater than b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงลบแล้ว $a over c less than b over c$

หมายเหตุ สมบัติทั้งสี่ยังคงเป็นจริงหากเพิ่มเครื่องหมาย

equals

ลงไปในอสมการด้วย เช่น สมบัติข้อ 4.2) หากเพิ่มเครื่องหมาย

equals

ลงไปในอสมการ จะได้ว่า ถ้า

a greater or equal than b

และ

c

เป็นจำนวนจริงลบแล้ว

a over c less or equal than b over c

การแก้อสมการ

การแก้อสมการคือการหาค่าของตัวแปรที่ทำให้อสมการเป็นจริง วิธีการแก้อสมการจะใช้สมบัติของอสมการดังที่กล่าวไปแล้ว

ตัวอย่าง จงแก้อสมการต่อไปนี้

1. $5 left parenthesis 3 minus 2 x right parenthesis less than 10$

วิธีทำ
หารอสมการด้วย 5 จะได้       $begin mathsize 12px style fraction numerator 5 left parenthesis 3 minus 2 x right parenthesis over denominator 5 end fraction less than 10 over 5 rightwards arrow 3 minus 2 x less than 2 end style$
บวกอสมการด้วย (-3) จะได้    $begin mathsize 12px style left parenthesis negative 3 right parenthesis plus 3 minus 2 x less than left parenthesis negative 3 right parenthesis plus 2 rightwards arrow negative 2 x less than negative 1 end style$
หารอสมการด้วย (-2) จะได้         $begin mathsize 12px style fraction numerator negative 2 x over denominator negative 2 end fraction greater than fraction numerator negative 1 over denominator negative 2 end fraction rightwards arrow x greater than 1 half end style$
(ต้องสลับเครื่องหมายของอสมการเนื่องจากหารด้วย $negative 2$ ซึ่งเป็นจำนวนลบ)

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการคือ $open curly brackets right enclose x x greater than 1 half close curly brackets$

2. $3 less than x squared minus 1 less than 8$

วิธีทำ
ในกรณีนี้จะหาเซตคำตอบของสองอสมการคือ $3 less than x squared minus 1$ และ $x squared minus 1 less than 8$
เซตคำตอบของอสมการที่โจทย์กำหนดคือการหาผลตัด (อินเตอร์เซคชัน) ของเซตคำตอบของอสมการทั้งสอง
แก้สมการ
$3 less than x squared minus 1 0 less than x squared minus 4 0 less than left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 2 right parenthesis$
หาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 2 right parenthesis equals 0$ ซึ่งก็คือ $x equals 2 comma negative 2$

จากนั้นพิจารณาค่าของ $left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 2 right parenthesis$ ในช่วง
( $negative infinity comma 2$ ),( $negative 2 comma 2$ ),( $2 comma infinity$ ) ดังตาราง

ช่วง	ค่าของ ( $begin mathsize 12px style x minus 2 end style$ )	ค่าของ $begin mathsize 12px style left parenthesis x plus 2 right parenthesis end style$	ค่าของ $begin mathsize 12px style left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 2 right parenthesis end style$
$begin mathsize 12px style x element of left parenthesis negative infinity comma 2 right parenthesis end style$	ลบ	ลบ	บวก
$begin mathsize 12px style x element of left parenthesis negative 2 comma 2 right parenthesis end style$	ลบ	บวก	ลบ
$begin mathsize 12px style x element of left parenthesis 2 comma infinity right parenthesis end style$	บวก	บวก	บวก

จากตารางพบว่า ค่าของ $left parenthesis x minus 2 right parenthesis left parenthesis x plus 2 right parenthesis greater than 0$ เมื่อ $x element of left parenthesis negative infinity comma negative 2 right parenthesis$ หรือ $x element of left parenthesis 2 comma infinity right parenthesis$

แก้สมการ
$x squared minus 1 less than 8 x squared minus 9 less than 0 left parenthesis x minus 3 right parenthesis left parenthesis x plus 3 right parenthesis less than 0$
หาค่าของ $x$ ที่ทำให้ $left parenthesis x minus 3 right parenthesis left parenthesis x plus 3 right parenthesis equals 0$ ซึ่งก็คือ $x equals 3 comma negative 3$

จากนั้นพิจารณาค่าของ ( $x minus 3$ )( $x plus 3$ ) ในช่วง ( $negative infinity comma negative 3$ ),( $negative 3 comma 3$ ),( $3 comma infinity$ )
ดังตาราง

ช่วง	ค่าของ $left parenthesis x minus 3 right parenthesis$	ค่าของ $x plus 3$	ค่าของ ( $x minus 3$ )( $x plus 3$ )
$begin mathsize 12px style x element of left parenthesis negative infinity comma negative 3 right parenthesis end style$	ลบ	ลบ	บวก
$begin mathsize 12px style x element of left parenthesis negative 3 comma 3 right parenthesis end style$	ลบ	บวก	ลบ
$begin mathsize 12px style x element of left parenthesis 3 comma infinity right parenthesis end style$	บวก	บวก	บวก

จากตารางพบว่า ค่าของ $left parenthesis x minus 3 right parenthesis left parenthesis x plus 3 right parenthesis less than 0$ เมื่อ $x element of left parenthesis negative 3 comma 3 right parenthesis$

ดังนั้นเซตคำตอบของอสมการที่โจทย์กำหนดคือ
$left parenthesis left parenthesis negative infinity comma negative 2 right parenthesis union left parenthesis 2 comma infinity right parenthesis right parenthesis intersection left parenthesis negative 3 comma 3 right parenthesis equals left parenthesis negative 3 comma negative 2 right parenthesis union left parenthesis 2 comma 3 right parenthesis$

สมบัติอสมการและการแก้อสมการ

แบบฝึกหัด

สมบัติอสมการและการแก้อสมการ

สมบัติอสมการและการแก้อสมการ

สมบัติอสมการและการแก้อสมการ

เนื้อหา

สมบัติของอสมการ

การแก้อสมการ

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ