สมการพหุนามดีกรีสอง

ในการแก้สมการ $a x squared plus b x plus c equals 0$ เมื่อ $a not equal to 0 comma b comma c not equal to 0$ เป็นค่าคงที่ทำได้ วิธีดังนี้

การใช้สมบัติของจำนวนจริงที่ว่า
“ถ้า $A times B equals 0$ แล้ว $A$ หรือ $B$ เป็น $0$ ”
วิธีนี้เหมาะสำหรับกรณีที่พหุนามสามารถแยกตัวประกอบได้ง่าย

การใช้สูตร $x equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction$
ถ้า $b squared minus 4 a c equals 0$ แล้ว คำตอบของสมการจะมีเพียงค่าเดียว คือ $x equals fraction numerator negative b over denominator 2 a end fraction$
ถ้า $b squared minus 4 a c greater than 0$ แล้ว คำตอบของสมการจะมีสองค่า
ถ้า $b squared minus 4 a c less than 0$ แล้ว สมการจะไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

คำตอบของสมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ผลบวกของคำตอบของสมการดีกรีสอง $equals fraction numerator negative b over denominator a end fraction$
ผลคูณของคำตอบของสมการดีกรีสอง $c over a$

ตัวอย่าง จงหาคำตอบของสมการต่อไปนี้

$x squared minus 5 x plus 10 equals 2 x minus 2$

วิธีทำ
จัดรูปสมการ $x squared minus 7 x plus 12 equals 0$
แยกตัวประกอบ $left parenthesis x minus 4 right parenthesis left parenthesis x minus 3 right parenthesis equals 0$
จะได้ $x minus 4 equals 0 x equals 4$ หรือ $x minus 3 equals 0 x equals 3$

$x squared plus 2 x minus 11 equals 0$

วิธีทำ
เทียบกับสมการ   $a x squared plus b x plus c equals 0$
จะได้   $a equals 1 comma b equals 2 comma c equals negative 11$
จาก   $x equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared end root minus 4 a c over denominator 2 a end fraction x equals fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 2 squared minus 4 left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis negative 11 right parenthesis end root over denominator 2 left parenthesis 1 right parenthesis end fraction space space equals fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 4 plus 44 end root over denominator 2 end fraction space space equals fraction numerator negative 2 plus-or-minus square root of 48 over denominator 2 end fraction space space equals fraction numerator negative 2 plus-or-minus 4 square root of 3 over denominator 2 end fraction space space equals negative 1 plus-or-minus 2 square root of 3$

คำตอบของสมการคือ $negative 1 plus 2 square root of 3$ และ $negative 1 minus 2 square root of 3$

โจทย์ปัญหาสมการพหุนามดีกรีสอง

ในการแก้โจทย์ปัญหานั้น จะต้องกำหนดตัวแปรให้กับสิ่งที่ไม่ทราบ แล้วใช้ความสัมพันธ์ที่โจทย์กำหนดให้มาสร้างสมการที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรนั้น หลังจากนั้นจึงแก้สมการเพื่อหาค่าของตัวแปรดังกล่าว

ตัวอย่าง นายแดงมีกระดาษรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 8 ซม. ยาว 10 ซม. นายแดงต้องการนำกระดาษแผ่นนี้ไปทำกรอบรูปโดยการตัดบริเวณตรงกลางกระดาษออกดังรูป

โดยบริเวณที่ตัดออกนั้น เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านยาวยาวมากกว่าด้านกว้าง 2 ซม.หากนายแดงต้องการกรอบรูปที่มีพื้นที่ 32 ตร.ซม. ถามว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ตัดออกมีขนาดเท่าใด

วิธีทำ
กำหนดให้ สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ตัดออกมีความกว้าง $x$ ซม.
ดังนั้น สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ตัดออกจะมีความยาว $x plus 2$ ซม.
เนื่องจาก นายแดงต้องการกรอบรูปขนาด 32 ตร.ซม. ดังนั้น พื้นที่ (ของสี่เหลี่ยนผืนผ้า) ที่ต้องตัดออกไปคือ $8 cross times 10 minus 32 equals 48$ ตร.ซม.
ดังนั้น จะได้สมการ
$x left parenthesis x plus 2 right parenthesis equals 48 x squared plus 2 x minus 48 equals 0 left parenthesis x plus 8 right parenthesis left parenthesis x minus 6 right parenthesis equals 0 x equals negative 8 comma 6$

เนื่องจากความยาวด้านต้องเป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ตัดออกมีขนาด กว้าง 6 ซม. ยาว 8 ซม.

ตัวอย่าง ชายคนหนึ่งต้องการโยนลูกบาสเกตบอลให้ลงแป้นที่อยู่สูงจากพื้น 3 ม. หากความสูง (h) ของลูกบาสเกตบอลเมื่อวัดจากพื้นหลังจากโยนไปนาน t วินาที เป็นไปตามสมการ

$h equals 1 fourth left parenthesis 3 plus 24 t minus 16 t squared right parenthesis$

อยากทราบว่านานเท่าใดหลังจากที่ชายคนนี้โยนลูกบาสเกตบอล ลูกบาสเกตบอลจึงจะถึงแป้น

วิธีทำ เนื่องจากแป้นอยู่สูงจากพื้น 3 ม. ดังนั้น เวลาที่ใช้แก้ได้จากสมการ $3 equals 1 fourth left parenthesis 3 plus 24 t minus 16 t squared right parenthesis 12 equals 3 plus 24 t minus 16 t squared 16 t squared minus 24 t plus 9 equals 0 left parenthesis 4 t minus 3 right parenthesis squared equals 0 t equals 3 over 4$

ดังนั้น หลังจากที่ชายคนนี้โยนลูกบาสเกตบอลไปแล้ว $3 over 4$ วินาที ลูกบาสเกตบอลจึงจะถึงแป้น

สมการพหุนามดีกรีสองและโจทย์ปัญหา

แบบฝึกหัด