เซตของจำนวนจริง

จำนวนจริง

เป็นจำนวนที่เราใช้ในชีวิตประจำวันซึ่งมีมาตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์โดยใช้สิ่งต่างรอบตัวเพื่อมาแสดงถึงจำนวนสัตว์เลี้ยง ในสมัยแรกๆ มนุษย์ได้รู้จักกับจำนวนนับ ต่อมามีการพัฒนามากขึ้นเรื่อยๆ มนุษย์จึงได้สร้างจำนวนชนิดอื่นๆ ขึ้นมาเพื่ออธิบายสิ่งต่างๆ เช่น น้ำหนัก อุณหภูมิ ความยาวของสิ่งต่างๆ เป็นต้น  จำนวนเหล่านี้เหล่านี้ เรียกว่า จำนวนจริง

เซตของจำนวนจริงแทนได้ด้วยสัญลักษณ์  ประกอบด้วยสับเซตที่สำคัญ ดังนี้

1. เซตของจำนวนนับหรือเซตของจำนวนเต็มบวก แทนได้ด้วยสัญลักษณ์ 
   = {1,2,3,K}
2. เซตของจำนวนเต็มลบ แทนได้ด้วยสัญลักษณ์ 
   = {K,-3,-2,-1}
3. เซตของจำนวนตรรกยะ แทนได้ด้วยสัญลักษณ์ 
   เป็นสับเซตของจำนวนจริงที่สามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วน โดยทั้งเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และส่วนไม่เป็นศูนย์  ตัวอย่างเช่น 

= ,0=,, ทศนิยมซ้ำ

4. เซตของจำนวนอตรรกยะ แทนได้ด้วยสัญลักษณ์  เป็นสับเซตของจำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น

,,,,

ทศนิยมซ้ำ

ทศนิยมซ้ำสามารถเขียนได้เป็นเศษส่วนจำนวนเต็มได้เสมอ เช่น

แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของเซตของจำนวนต่างๆ

สมบัติการบวก

การบวกกันของจำนวนจริงสองจำนวนเป็นการนำสองจำนวนนั้นมารวมกันเพื่อให้ได้จำนวนอีกจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นจำนวนใหม่ หรืออาจจะเป็นจำนวนที่ซ้ำกับจำนวนใดจำนวนหนึ่งในสองจำนวนนั้น ในระบบจำนวนจริงนั้นจะมีจำนวนอยู่หนึ่งจำนวนที่เป็นเอกลักษณ์การบวก คือ 0 กล่าวคือ เมื่อ  เป็นจำนวนจริงใดๆ    +0==0=

นอกจากนั้นยังมีอินเวอร์สการบวกของจำนวนจริง  หมายถึง  จำนวนจริงที่บวกกับ  แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 0 แทนอินเวอร์สการบวกของ  นั้นว่า  กล่าวคือ เมื่อ  เป็นจำนวนจริงใดๆ    +()=0=()+

ตัวอย่าง อินเวอร์สการบวก

-2  เป็นอินเวอร์สการบวกของ 2

 6 เป็นอินเวอร์สการบวกของ -6

นอกจากนี้ในการบวกจำนวนจริงยังมีสมบัติปิด สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่

สมบัติ	การบวก	ตัวอย่าง
ปิด
การสลับที่
การเปลี่ยนหมู่
การมีเอกลักษณ์	มี 0 เป็นเอกลักษณ์ โดยที่
การมีอินเวอร์ส	อินเวอร์สของจำนวนจริง  คือ  โดยที่

ตัวอย่าง

ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงตามสมบัติของจำนวนจริงข้อใด

1.  + เป็นจำนวนจริง (สมบัติปิด)
2.  (สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและสมบัติการสลับที่)
3. สมบัติการมีเอกลักษณ์)
4. (สมบัติการมีอินเวอร์ส)

สมบัติการคูณ

ในระบบจำนวนจริงนั้นจะมีจำนวนอยู่หนึ่งจำนวนที่เป็นเอกลักษณ์การคูณ คือ 1 กล่าวคือ เมื่อ  เป็นจำนวนจริงใดๆ  นอกจากนั้นยังมีอินเวอร์สการคูณของจำนวนจริง  หมายถึง  จำนวนจริงที่คูณกับ  แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 1 แทนอินเวอร์สการคูณของ 0 นั้นว่า   กล่าวคือ

เมื่อ   เป็นจำนวนจริงใดๆ    =1=

ตัวอย่าง อินเวอร์สการคูณ

  เป็นอินเวอร์สการคูณของ 

  เป็นอินเวอร์สการคูณของ 

นอกจากนี้ในการคูณจำนวนจริงยังมีสมบัติปิด สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่

สมบัติ	การคูณ	ตัวอย่าง
ปิด
การสลับที่
การเปลี่ยนหมู่
การมีเอกลักษณ์	มี 1 เป็นเอกลักษณ์ โดยที่
การมีอินเวอร์ส	อินเวอร์สของจำนวนจริง  คือ  โดยที่

สมบัติการแจกแจง

เป็นสมบัติการบวกร่วมกับสมบัติการคูณ

ตัวอย่าง

ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงตามสมบัติของจำนวนจริงข้อใด

5. มีจำนวนจริงที่คูณกับ  แล้วได้  (สมบัติการมี  อินเวอร์สการคูณ)
6.  (สมบัติการมีเอกลักษณ์การคูณ)
7.  (สมบัติการแจกแจง)

ตัวอย่าง

เซตของจำนวนเต็มลบ มีสมบัติปิดของการคูณหรือไม่

ตอบ ไม่มี เช่น    และ   เป็นสมาชิกของจำนวนเต็มลบ
แต่  ซึ่ง  ไม่ได้เป็นสมาชิกของเซตของจำนวนเต็มลบ