ผลคูณเชิงสเกลาร์และผลคูณเชิงเวกเตอร์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product)

ผลลัพธ์ที่ได้จากผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ เป็น จำนวนจริง ()

แกน/ระบบ	2-D
ระบบพิกัดฉาก	ให้ และ  โดยที่  เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า
ระบบเชิงขั้ว	เมื่อ  เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ (ใช้ในกรณีที่โจทย์กล่าวถึงมุมระหว่างเวกเตอร์)

แกน/ระบบ	3-D
ระบบพิกัดฉาก	ให้ และ  โดยที่  เป็นจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า
ระบบเชิงขั้ว	เมื่อ  เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ (ใช้ในกรณีที่โจทย์กล่าวถึงมุมระหว่างเวกเตอร์)

ถ้า  และ  ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์ แล้ว  ตั้งฉากกับ   ก็ต่อเมื่อ 

สมบัติที่สำคัญของผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product)

1. : สมบัติการสลับที่
2.  :
   สมบัติการแจกแจง
3. 
4. 
   และ 
5. 

ตัวอย่าง  จงหาค่าของ  ในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. กำหนดให้  และ
   ดังนั้น  จะได้
       

2. กำหนดให้  มีขนาด 5 หน่วย และ  มีขนาด 4 หน่วย
   โดยเวกเตอร์ทั้ง 2 ทำมุมกัน              
   ดังนั้น  จะได้ 
    

ตัวอย่าง  จงหามุมระหว่าง  กับ  เมื่อ  และ    

จาก 
จะได้
  


ดังนั้น  นั่นคือ   
ได้ว่า    กับ    ทำมุมกัน 

ตัวอย่าง  จงหามุมระหว่าง  กับ   
เมื่อ  และ   

จาก     
จะได้   
 
ดังนั้น  
 นั่นคือ   

ตัวอย่าง   ถ้า   
และเวกเตอร์ทั้ง 2 ทำมุมกัน  
จงหาว่า เวกเตอร์  ทำมุมกับ  เท่าใด

เนื่องจาก โจทย์ถามว่า เวกเตอร์   ทำมุมกับ  เท่าใด
สมมติให้  เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์   ทำมุมกับ

จะได้ว่า

ดังนั้น  
นั่นคือ  
จะได้ว่า  เวกเตอร์   ทำมุมกับ
เป็นมุม      

ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross Product)

ผลลัพธ์ที่ได้จากผลคูณเชิงเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ เป็น เวกเตอร์

ความหมายของผลคูณเชิงเวกเตอร์            

ผลลัพธ์ของ    คือ เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับ  และ  และมีทิศตาม กฎมือขวา

ที่มาของรูป http://www.mwit.ac.th/~sion/teaching/2556_s1/3%20Euclidenp=.pdf

ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์

1. ถ้า   และ       
   โดยที่   เป็นจำนวนจริง แล้ว 

** วิธีการคิดหา  สามารถหาผลลัพธ์ได้เหมือนกับการหา determinant ในเรื่องเมตริกซ์ **

2. 
 ** เมื่อ เป็นมุมระหว่าง  และ    **

สมบัติที่สำคัญของผลคูณเชิงเวกเตอร์ (Cross Product)

1. 
2. 
3. 
4. 
5. เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับ  และ  คือ 
6.    ก็ต่อเมื่อ  ขนานกับ 

ตัวอย่าง   กำหนดให้  และ  
จงหา 

จะได้