การหาขนาดและความชันของเวกเตอร์

สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแสดงเวกเตอร์ 2D

space u ⃗ equals a i ⃗ plus b j ⃗

หรือ

open square brackets table row a row b end table close square brackets

สัญลักษณ์ที่ใช้เขียนแสดงเวกเตอร์ 3D

$space space u ⃗ equals a i ⃗ plus b j ⃗ plus c k space ⃗ space$ หรือ

open square brackets table row a row b row c end table close square brackets

ขนาดของเวกเตอร์ 2D

$vertical line u ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis a squared plus b squared right parenthesis end root$

ขนาดของเวกเตอร์ 3D

$vertical line u ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis a squared plus b squared plus c squared right parenthesis end root$

ความชันของเวกเตอร์

ในระบบพิกัดฉากสองมิติ (2D) ความชันของ

u ⃗ equals a i ⃗ plus b j space ⃗

คือ

b over a

** เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ จะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันเท่ากัน (มีทั้งแบบทิศเดียวกันและตรงข้ามกัน) **

** เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันได้ -1 **

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉากสองมิติ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาด เท่ากับ 1
ดังนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$ (ใช้สัญลักษณ์ $u with hat on top$ )

u with hat on top equals fraction numerator u ⃗ over denominator vertical line u ⃗ vertical line end fraction equals fraction numerator a i ⃗ plus b j ⃗ over denominator square root of a squared plus b squared end root end fraction

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในระบบพิกัดฉากสามมิติ

u with hat on top equals fraction numerator u ⃗ over denominator vertical line u ⃗ vertical line end fraction equals fraction numerator a i ⃗ plus b j ⃗ plus c k ⃗ over denominator square root of a squared plus b squared plus c squared end root end fraction

การคูณเวกเตอร์ด้วยจำนวนจริง

ให้ $m$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ $u ⃗ equals a i ⃗ plus b j ⃗$ โดยที่ $a comma b$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

m u ⃗ equals m left parenthesis a i ⃗ plus b j ⃗ space right parenthesis equals left parenthesis m a right parenthesis i ⃗ plus left parenthesis m b right parenthesis j ⃗ equals open square brackets table row cell m a end cell row cell m b end cell end table close square brackets

การบวก-การลบเวกเตอร์

ให้ $u ⃗ equals a i ⃗ plus b j ⃗$ และ $v ⃗ equals c i ⃗ plus d j ⃗$ โดยที่ $a comma b comma c comma d$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

u ⃗ plus v ⃗ equals left parenthesis space a i ⃗ plus b j ⃗ space space right parenthesis plus left parenthesis space c i ⃗ plus d j ⃗ space space right parenthesis equals left parenthesis a plus c right parenthesis i ⃗ plus left parenthesis b plus d right parenthesis j ⃗ equals open square brackets table row cell a plus c end cell row cell b plus d end cell end table close square brackets

u ⃗ minus v ⃗ equals left parenthesis space a i ⃗ plus b j ⃗ space space right parenthesis minus left parenthesis space c i ⃗ plus d j ⃗ space space right parenthesis equals left parenthesis a minus c right parenthesis space i ⃗ plus left parenthesis b minus d right parenthesis j ⃗ equals open square brackets table row cell a minus c end cell row cell b minus d end cell end table close square brackets

ตัวอย่าง
กำหนดให้ $u ⃗ equals 3 i ⃗ minus 4 j ⃗$ และ $v ⃗ equals negative i ⃗ plus 4 j ⃗$

1. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$
นั่นคือ $u with hat on top equals fraction numerator u ⃗ over denominator vertical line u ⃗ vertical line end fraction equals fraction numerator 3 i ⃗ minus 4 j ⃗ over denominator square root of 3 squared plus left parenthesis negative 4 right parenthesis squared end root end fraction equals fraction numerator 3 over denominator 5 i end fraction minus fraction numerator 4 over denominator 5 j ⃗ end fraction$

2. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางตรงข้ามกับ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$
นั่นคือ $negative v with hat on top equals fraction numerator left parenthesis negative v ⃗ right parenthesis over denominator vertical line v ⃗ vertical line end fraction equals fraction numerator negative left parenthesis negative i ⃗ plus 4 j ⃗ right parenthesis over denominator square root of left parenthesis negative 1 right parenthesis squared plus left parenthesis 4 right parenthesis squared end root end fraction equals fraction numerator 1 over denominator 17 i end fraction minus fraction numerator 4 over denominator 17 j ⃗ end fraction$

3. จงหาเวกเตอร์ขนาด 3 หน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ $stack u space with rightwards harpoon with barb upwards on top plus space 2 v with rightwards harpoon with barb upwards on top$
เนื่องจาก $u ⃗ plus 2 v ⃗ equals i ⃗ plus 4 j ⃗$

นั่นคือ $3 bullet left parenthesis fraction numerator left parenthesis u ⃗ plus 2 v ⃗ right parenthesis over denominator vertical line u ⃗ plus 2 v ⃗ vertical line end fraction equals 3 bullet fraction numerator left parenthesis i ⃗ plus 4 j ⃗ right parenthesis over denominator square root of 1 squared plus 4 squared end root end fraction equals fraction numerator 3 over denominator square root of 17 left parenthesis i ⃗ plus 4 j ⃗ right parenthesis end root end fraction$

ตัวอย่าง
กำหนดให้ $u ⃗ equals 3 i ⃗ minus 4 j ⃗ plus 5 k ⃗$
และ $v ⃗ equals 2 i ⃗ minus j ⃗ plus k ⃗$

1. จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$
นั่นคือ $u with hat on top equals fraction numerator u ⃗ over denominator vertical line u ⃗ vertical line end fraction equals fraction numerator left parenthesis 3 i ⃗ minus 4 j ⃗ plus 5 k ⃗ right parenthesis over denominator open parentheses 3 squared close parentheses plus left parenthesis negative 4 right parenthesis squared plus left parenthesis 5 right parenthesis squared end fraction equals fraction numerator 3 over denominator left parenthesis 5 square root of 2 right parenthesis i ⃗ end fraction minus fraction numerator 4 over denominator left parenthesis 5 square root of 2 right parenthesis j with rightwards arrow on top end fraction plus fraction numerator 5 over denominator left parenthesis 5 square root of 2 right parenthesis k ⃗ end fraction$

2. จงหาเวกเตอร์ขนาด 2 หน่วย ที่มีทิศทางเดียวกับ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$

นั่นคือ $2 v with hat on top equals 2 bullet fraction numerator v ⃗ over denominator vertical line v ⃗ vertical line end fraction equals 2 bullet fraction numerator left parenthesis 2 i ⃗ minus j ⃗ plus k ⃗ right parenthesis over denominator square root of left parenthesis 2 right parenthesis squared plus left parenthesis negative 1 right parenthesis squared plus left parenthesis 1 right parenthesis squared end root end fraction equals fraction numerator 2 over denominator square root of 6 left parenthesis 2 i ⃗ minus j ⃗ plus k ⃗ right parenthesis end root end fraction$

ตัวอย่าง กำหนดให้ $u ⃗ equals 3 i ⃗ minus 4 j ⃗ space space space comma v ⃗ equals 2 i ⃗ minus 2 j ⃗$ และ $w ⃗ equals negative 3 i ⃗ plus 4 j ⃗$

จงหาค่าของ $vertical line 2 u ⃗ minus 3 v ⃗ plus w ⃗ space vertical line$ และ $vertical line 2 u ⃗ space vertical line minus vertical line 3 v ⃗ space vertical line plus vertical line w ⃗ space vertical line$

เนื่องจาก $space 2 u ⃗ minus 3 v ⃗ plus w ⃗ equals open square brackets table row cell 6 minus end cell cell 6 minus end cell 3 row cell negative 8 end cell cell plus 6 end cell cell plus 4 end cell end table close square brackets equals open square brackets table row cell negative 3 end cell row 2 end table close square brackets$

ดังนั้น $vertical line 2 u ⃗ minus 3 v ⃗ plus w ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis negative 3 right parenthesis squared plus left parenthesis 2 right parenthesis squared end root equals square root of 13$

เนื่องจาก $vertical line u ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis 3 right parenthesis squared plus left parenthesis negative 4 right parenthesis squared end root equals 5 comma vertical line v ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis 2 right parenthesis squared plus left parenthesis negative 2 right parenthesis squared end root equals 2 square root of 2$

และ $vertical line w ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis negative 3 right parenthesis squared plus left parenthesis 4 right parenthesis squared end root equals 5$

ดังนั้น $vertical line 2 u ⃗ space vertical line minus vertical line 3 v ⃗ space vertical line plus vertical line w ⃗ space vertical line space space space equals 2 left parenthesis 5 right parenthesis minus 3 left parenthesis 2 square root of 2 right parenthesis plus left parenthesis 5 right parenthesis equals 15 minus 6 square root of 2$

จากโจทย์จะพบว่า
ค่าของ $vertical line 2 u ⃗ minus 3 v ⃗ plus w ⃗ space vertical line$
มีค่าไม่เท่ากับ $vertical line 2 u ⃗ space vertical line minus vertical line 3 v ⃗ space vertical line plus vertical line w ⃗ space vertical line$

มุมที่เวกเตอร์กระทำกับแกนทั้งสาม

มุมที่เวกเตอร์กระทำกับแกนทั้งสาม เรียกว่า “โคไซน์แสดงทิศทาง” ได้แก่ มุม $alpha$ , มุม $beta$ และมุม $gamma$ ซึ่งเป็นมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกน $plus x$ , แกน $plus Y$ และแกน $plus Z$ ตามลำดับและกำหนดให้ $stack a i with rightwards arrow on top plus stack b j with rightwards arrow on top plus stack c k with rightwards arrow on top$ จะได้

โคไซน์แสดงทิศทาง $equals open curly brackets table row cell cos open parentheses alpha close parentheses space equals fraction numerator a over denominator open vertical bar u with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar end fraction end cell row cell cos open parentheses beta close parentheses equals fraction numerator b over denominator open vertical bar u with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar end fraction end cell row cell cos open parentheses gamma close parentheses equals fraction numerator c over denominator open vertical bar u with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar end fraction end cell end table close$

ตัวอย่าง จงหาโคไซน์แสดงทิศทางของ
$u ⃗ equals 2 i ⃗ minus j ⃗ plus 3 k ⃗$ และ $v ⃗ equals negative 4 i ⃗ plus 2 j ⃗ minus 6 k ⃗$

พิจารณา $u ⃗ equals 2 i ⃗ minus j ⃗ plus 3 k ⃗ space space$

จะได้ $vertical line u ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis 2 right parenthesis squared plus left parenthesis negative 1 right parenthesis squared plus left parenthesis 3 right parenthesis squared end root equals square root of 14$
จะได้ โคไซน์แสดงทิศทางของ $open vertical bar u with rightwards arrow on top close vertical bar equals open curly brackets table row cell cos open parentheses alpha close parentheses equals fraction numerator a over denominator open vertical bar u with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction equals fraction numerator 2 over denominator square root of 14 end fraction end cell row cell cos open parentheses beta close parentheses equals fraction numerator b over denominator open vertical bar u with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction equals fraction numerator negative 1 over denominator square root of 14 end fraction end cell row cell cos open parentheses gamma close parentheses equals fraction numerator c over denominator open vertical bar u with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction equals fraction numerator 3 over denominator square root of 14 end fraction end cell end table close$

พิจารณา $v ⃗ equals negative 4 i ⃗ plus 2 j ⃗ minus 6 k ⃗$
จะได้ $vertical line v ⃗ vertical line equals square root of left parenthesis negative 4 right parenthesis squared plus left parenthesis 2 right parenthesis squared plus left parenthesis negative 6 right parenthesis squared end root equals 2 square root of 14$
จะได้ โคไซน์แสดงทิศทางของ $v with rightwards arrow on top equals open curly brackets table row cell cos open parentheses alpha close parentheses equals fraction numerator a over denominator open vertical bar u with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction equals fraction numerator negative 2 over denominator square root of 14 end fraction end cell row cell cos open parentheses beta close parentheses equals fraction numerator b over denominator open vertical bar u with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction equals fraction numerator 1 over denominator square root of 14 end fraction end cell row cell cos open parentheses gamma close parentheses equals fraction numerator c over denominator open vertical bar u with rightwards arrow on top close vertical bar end fraction equals fraction numerator negative 3 over denominator square root of 14 end fraction end cell end table close$

การหาขนาดและความชันของเวกเตอร์

แบบฝึกหัด