เวกเตอร์และนิเสธของเวกเตอร์

ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเวกเตอร์

ปริมาณต่าง ๆ ในโลกนี้ มีอยู่ 2 ชนิด คือ

ปริมาณสเกลาร์ (ระบุเฉพาะขนาด) เช่น ความยาว อุณหภูมิ เวลา เป็นต้น
ปริมาณเวกเตอร์ (ระบุทั้งขนาด และ ทิศทาง) เช่น โมเมนตัม ความเร็ว แรง เป็นต้น

โดยในหัวข้อนี้ เราจะสนใจปริมาณที่เป็นปริมาณเวกเตอร์

การเขียนปริมาณเวกเตอร์

เราจะใช้ ลูกศร แทน เวกเตอร์ โดยขนาดของเวกเตอร์วัดจากความยาวของลูกศร และ หัวลูกศร ใช้ชี้บอกทิศทาง

จากรูป เวกเตอร์ $mu with rightwards harpoon with barb upwards on top$ มี $A$ เป็นจุดเริ่มต้น และมี $B$ เป็นจุดปลาย สามารถเขียนแทนด้วย

โดยที่ขนาดของเวกเตอร์ $mu with rightwards harpoon with barb upwards on top$ เขียนแทนด้วย $open vertical bar mu with rightwards harpoon with barb upwards on top close vertical bar$ หรือ $open double vertical bar mu with rightwards harpoon with barb upwards on top close double vertical bar$

ตัวอย่าง เวกเตอร์ $mu with rightwards harpoon with barb upwards on top$ มีขนาด 5 หน่วย และมีทิศทางทำมุม $30 degree$ กับแกน $plus X$ ในทิศทวนเข็มนาฬิกา และเวกเตอร์ $nu with rightwards harpoon with barb upwards on top$ มีขนาด 4 หน่วย และมีทิศไปทางแกน $negative Y$ เป็น ดังรูป

** เราสามารถเรียกชื่อ $mu with rightwards harpoon with barb upwards on top$ ว่า $stack A B with rightwards arrow on top$ และเรียก $nu with rightwards harpoon with barb upwards on top$ ว่า $stack A C with rightwards arrow on top$ ได้เช่นกัน **

การเท่ากันของเวกเตอร์

เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้ง 2 มีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางเดียวกัน
** ไม่จำเป็นต้องมีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเดียวกันก็ได้ **

เช่น $stack A B with rightwards arrow on top equals stack C D with rightwards arrow on top$ ก็สามารถเป็นไปได้ ถ้าหากเวกเตอร์ทั้ง 2 มีขนาดเท่ากันและทิศทางเดียวกัน

จากรูป จะพบว่า เวกเตอร์ $stack A B with rightwards arrow on top$ มีขนาดเท่ากับ เวกเตอร์ $stack C D with rightwards arrow on top$

ทิศทางของเวกเตอร์

เวกเตอร์ $mu with rightwards harpoon with barb upwards on top$ และเวกเตอร์ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$ มีทิศทางเดียวกัน กล่าวคือ เมื่อแทนเวกเตอร์ทั้ง 2 ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง โดยส่วนของเส้นตรงทั้ง 2 นั้น ต้องขนานกัน หรือ อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน และมีหัวลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกัน ดังรูป

จะกล่าวว่าเวกเตอร์ $u with rightwards harpoon with barb upwards on top comma v with rightwards harpoon with barb upwards on top$ และ $w with rightwards harpoon with barb upwards on top$ เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน เมื่อ
1. $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$ ขนานกับ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$ และ $w with rightwards harpoon with barb upwards on top$
2. $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$ และ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$ อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน

เวกเตอร์ และเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม

กล่าวคือ เมื่อแทนเวกเตอร์ทั้ง 2 ด้วยส่วนของเส้นตรงที่ระบุทิศทาง โดยส่วนของเส้นตรงทั้ง 2 นั้น ต้องขนานกัน หรือ อยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน และมีหัวลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกัน ดังรูป

จะกล่าวว่าเวกเตอร์ $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$ และเวกเตอร์ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$ เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้าม เมื่อ
1. $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$ และ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$ มีทิศทางตรงข้ามกัน
2. $u with rightwards harpoon with barb upwards on top$ และ $v with rightwards harpoon with barb upwards on top$ ขนานกัน หรืออยู่บนแนวเส้นตรงเดียวกัน

นิเสธของเวกเตอร์

นิเสธของเวกเตอร์ คือ เวกเตอร์เดิมแต่มีทิศทางตรงกันข้าม (หันหัวลูกศรมาอีกฝั่ง) ดังแสดงในรูป

นิเสธของเวกเตอร์ สามารถหาได้ โดยเติมเครื่องหมายลบหน้าเวกเตอร์นั้น ๆ หรือ สลับที่ตำแหน่งจุดเริ่มและจุดปลาย

ดังนั้น นิเสธของเวกเตอร์ $stack A B with rightwards arrow on top$ คือ $negative stack A B with rightwards arrow on top open parentheses negative u with rightwards harpoon with barb upwards on top close parentheses$ หรือเขียนแทนด้วย $stack B A with rightwards arrow on top$ ก็ได้

เวกเตอร์ และ นิเสธของเวกเตอร์

แบบฝึกหัด