สัจนิรันดร์

ตอนนี้เราสามารถสร้างและพิจารณาประพจน์เชิงประกอบได้หลากหลายและซับซ้อนมาก และในหลายๆ ปัญหา สิ่งที่เราสนใจคือค่าความจริงของประพจน์ เช่น

พิจารณาตารางค่าความจริงของประพจน์ (pq)(pq) ได้ดังนี้

	T	T	F	F
	T	F	T	F
	F	T	F	T
	T	F	T	T
	F	T	F	F
	F	T	F	F
	T	T	T	T

เห็นได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี หรือประพจน์ที่ไม่ซับซ้อน เช่น

9 เป็นจำนวนคู่หรือ 9 เป็นจำนวนคี่ สามารถพิจารณาตารางค่าความจริงได้ดังนี้

p	~p	pq
T	F	T
F	T	T

ได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี ซึ่งตรงกับการแปลความหมายเบื้องต้นของประพจน์ว่า ไม่ว่า 9 จะเป็นจำนวนคู่หรือคี่ ประโยคนี้ก็จะเป็นจริง ประพจน์แบบนี้มีข้อดีคือ เราไม่ต้องพิจารณาตารางค่าความจริงและสรุปได้เลยว่าค่าความจริงของประพจน์เป็นจริง และในกรณีข้างต้น อาจเขียนแทน pq ด้วย T

• ลักษณะของประพจน์ที่มีค่าความจริงทุกกรณีเช่นนี้ เรียกว่า สัจนิรันดร์
• ในทำนองเดียวกัน ถ้าทุกกรณีในตารางค่าความจริงเป็นเท็จ อาจเขียนแทนด้วย F

การตรวจสอบประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

สามารถใช้การสมมูลกันของประพจน์ในการพิจารณา เช่น 

((pq)(q))p

((pq)(q))(p)
(p(q))q(p)
(pq(p))((q)q(p))
TT
T

ดังนั้น ประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์

วิธีข้างต้นจะสรุปได้เฉพาะประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณีหรือเป็นเท็จทุกกรณีเท่านั้น นอกจากนี้ถ้าการเชื่อมประพจน์เป็นแบบ “ถ้า แล้ว” สามารถใช้วิธีการหาข้อขัดแย้งในการตรวจสอบความเป็นสัจนิรันด์ได้ ซึ่งทำได้โดยสมมติให้ประพจน์ที่พิจารณาเป็นเท็จ ซึ่งตัวเชื่อม “ถ้า แล้ว” จะเป็นเท็จได้กรณีเดียวคือ เหตุเป็นจริง ผลเป็นเท็จ ดังนั้นเราจึงพิจารณาย้อนกลับเพื่อดูค่าความจริงของแต่ละประพจน์ย่อยหรือประพจน์เชิงเดียว ถ้ามีประพจน์ย่อยที่มีค่าความจริงทั้งจริงและเท็จในกรณีเดียวที่เรากำลังพิจารณานี้ แสดงว่าเกิดข้อขัดแย้งที่สมมติให้ประพจน์เป็นเท็จ ดังนั้นประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ไม่ว่าประพจน์ย่อยจะมีค่าความจริงเป็นอย่างไร

การพิจารณาข้างต้นทำให้ได้กรณีค่าความจริงของประพจน์ p และ q ที่ทำให้ประพจน์ที่พิจารณาเป็นเท็จได้ ดังนั้นประพจน์นี้ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ตัวอย่างนี้ได้ว่าประพจน์ q มีค่าความจริงทั้งเท็จและจริงในกรณีที่สมมตินี้ ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้นการสมมติให้ประพจน์ที่พิจารณาเป็นเท็จนั้น ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ สรุปว่าประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์