การเชื่อมด้วย “และ” “หรือ”

ในตอนที่แล้ว เราศึกษาประพจน์เชิงเดียว ซึ่งเป็นพื้นฐานของการศึกษาประพจน์ที่ซับซ้อนขึ้น โดยเรียกว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งเป็นการนำประพจน์เชิงเดียวมาประกอบกับตัวเชื่อมนั่นเอง ในตอนนี้ เราจะศึกษาตัวเชื่อม “และ” กับ “หรือ”

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ” 

เป็นการเชื่อมกันของประพจน์สองประพจน์ ซึ่งเห็นได้บ่อยในชีวิตประจำวัน เช่น

หนึ่งสัปดาห์มีเจ็ดวันและหนึ่งวันมียี่สิบสี่ชั่วโมง

มนุษย์เป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมและออกลูกเป็นตัว

2+4=8-2 และ 3x6=2x9

2 เป็นจำนวนนับและเป็นจำนวนเฉพาะ

สำหรับค่าความจริงของประพจน์ที่เชื่อมด้วย “และ” นั้น จะมีค่าความจริงเป็นจริงได้กรณีเดียวเท่านั้น เมื่อประพจน์เชิงเดียวที่นำมาเชื่อมกันมีค่าความจริงเป็นจริง เช่น

1.)  โลกมีน้ำเค็มมากกว่าน้ำจืดและโลกมีสิ่งมีชีวิตหลากหลายชนิด

ประโยคนี้เป็นประพจน์ที่ประกอบด้วย 2 ประพจน์คือ โลกมีน้ำเค็มมากกว่าน้ำจืด กับ โลกมีสิ่งมีชีวิตหลากหลายชนิด ซึ่งแต่ละประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้นประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริง

2.)  4 เป็นจำนวนคู่และเป็นจำนวนเฉพาะ

4 เป็นจำนวนคู่เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง ส่วน 4 เป็นจำนวนเฉพาะเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ที่เชื่อมกันเป็นประพจน์ใหม่ด้วย “และ” ดังนั้น ประพนจ์นี้มีค่าความจริงเป็นเท็จ

 สัญลักษณ์      ตัวเชื่อม “และ” แทนด้วย 

จากข้อตกลงนี้ ถ้า p และ q แทนประพจน์ใดๆ จะได้ตารางค่าความจริงดังนี้

p	q	pq
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

การเชื่อม “และ” ของสามประพจน์ขึ้นไป สามารถพิจารณาใส่วงเล็บเพื่อให้เป็นการเชื่อมทีละสองประพจน์นั่นเอง นอกจากนี้ มีการใช้คำอื่นที่สื่อความหมายเป็นตัวเชื่อม “และ” อีกด้วย เช่น กับ แต่ อีกทั้ง เป็นต้น

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ”

ในอีกทางหนึ่งก็เป็นการเชื่อมประพจน์สองประพจน์ เช่น

บึงบอระเพ็ดเป็นน้ำเค็มหรือกว๊านพะเยาเป็นน้ำจืด

หนึ่งเดือนมีสามสิบวันหรือมีสามสิบเอ็ดวัน

15=3x5 หรือ 15=10+5

6 เป็นจำนวนคู่ หรือ 6 เป็นจำนวนคี่

การกำหนดค่าความจริงสำหรับตัวเชื่อม “หรือ” มีข้อตกลงว่า ประพจน์ที่ประกอบขึ้นใหม่นั้น จะมีค่าความจริงเป็นเท็จได้กรณีเดียวเท่านั้น คือ ประพจน์เชิงเดียวที่นำมาเชื่อมกันมีค่าความจริงเป็นเท็จทั้งคู่ เช่น

6 เป็นจำนวนคู่ หรือ 6 เป็นจำนวนคี่
ประพจน์นี้ประกอบด้วย 2 ประพจน์คือ 6 เป็นจำนวนคู่ กับ 6 เป็นจำนวนคี่ ซึ่งเห็นได้ชัดว่าประพจน์หนึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง อีกประพจน์หนึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้นประพจน์ใหม่จึงมีค่าความจริงเป็นจริง

หนึ่งเดือนมีสามสิบวันหรือมีสามสิบเอ็ดวัน
ประพจน์นี้ประกอบด้วย 2 ประพจน์คือ หนึ่งเดือนมีสามสิบวัน กับ หนึ่งเดือนมีสามสิบเอ็ดวัน เนื่องจากมีประพจน์หนึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง จึงได้ว่าประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริง

สัญลักษณ์      ตัวเชื่อม “หรือ” แทนด้วย 

พิจารณาตารางค่าความจริงได้ดังนี้

p	q	pq
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

หาก “หรือ” เชื่อมประพจน์สามประพจน์ขึ้นไป สามารถพิจารณาได้ในทำนองเดียวกัน นอกจากนี้ จะเห็นได้จาก
ข้อตกลงว่า การที่ประพจน์ที่เชื่อมขึ้นที่มีค่าความจริงเป็นจริง อาจเกิดจากประพจน์เชิงเดียวที่มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งคู่ก็ได้