ประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

ในตอนนี้ จะศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับประพจน์ที่มาจากประโยคเปิด จากตอนแรกนั้น การแทนสมาชิกแต่ละตัวจากเอกภพสัมพัทธ์ในประโยคเปิด จะได้ประพจน์หลายประพจน์ และพิจารณาค่าความจริงแยกกันของแต่ละประพจน์ แต่ในหลายๆ บริบท จะใช้ประโยคเปิดร่วมกับตัวบ่งปริมาณ ได้แก่ ทุกตัวหรือบางตัว เพื่อพิจารณาค่าความจริงของทั้งประพจน์และได้ค่าความจริงเพียงค่าเดียว เช่น

สัตว์เลี้ยงลูกด้วยนมบางตัวออกลูกเป็นไข่

ดาวเคราะห์ทุกดวงไม่มีแสงสว่างในตัวเอง

จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนบวก

ตัวบ่งปริมาณ “ทุกตัว”

การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ “ทุกตัว” นั้น จะกล่าวว่า ค่าความจริงเป็นจริง เมื่อแทนสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ในประโยคเปิดแล้วประพจน์ทุกประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง และค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อมีประพจน์จากประโยคเปิดที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ตัวบ่งปริมาณ “บางตัว”

ส่วนตัวบ่งปริมาณ “บางตัว” นั้น จะกล่าวว่า ค่าความจริงเป็นจริง เมื่อแทนสมาชิกจากเอกภพสัมพัทธ์อย่างน้อยหนึ่งตัวในประโยคเปิดแล้วได้ประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริง และค่าความจริงเป็นเท็จเมื่อแทนสมาชิกทุกตัวแล้วแต่ทุกประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ เช่น

ให้ $union$ = {1,2,3} และ P(x) แทน X-1 $greater or equal than$ 0
ประพจน์ที่เราพิจารณาได้คือ สมาชิกทุกตัวใน $union$ ลบหนึ่งมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์
หรือ สมาชิกบางตัวใน $union$ ลบหนึ่งมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์

เนื่องจาก P(1),P(2),P(3) เป็นจริง จึงได้ว่าประพจน์ สมาชิกทุกตัวใน $union$ ลบหนึ่งมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ มีค่าความจริงเป็นจริง และยังได้อีกว่าประพจน์ สมาชิกบางตัวใน $union$ ลบหนึ่งมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ มีค่าความจริงเป็นจริงอีกด้วย

สัญลักษณ์ สำหรับสมาชิกทุกตัวกับประโยคเปิด P(x) เขียนแทนด้วย $for all$ x $left square bracket$ P(x) $right square bracket$
สำหรับสมาชิกบางตัวกับประโยคเปิด P(x) เขียนแทนด้วย $there exists$ x $left square bracket$ P(x) $right square bracket$

ถ้าเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตพื้นฐาน
เช่น ℝ, ℕ สามารถเขียนแทนด้วย $for all$ x $element of$ ℝ $left square bracket$ P(x) $right square bracket$ และ $there exists$ x $element of$ ℕ $left square bracket$ P(x) $right square bracket$ เป็นต้น

ตัวอย่าง

ในเรื่องของเซต ถ้าอธิบายนิยามต่างๆ ด้วยตัวบ่งปริมาณนี้ จะสามารถศึกษาสิ่งที่ซับซ้อนขึ้นได้อย่างเป็นระบบ เช่น นิยามของเซต A เป็นสับเซตของเซต B นั้นหมายความว่า
$for all$ x $left square bracket$ x $element of$ A $rightwards arrow$ x $element of$ B $right square bracket$ นั่นเอง

ต่อไปจะกล่าวถึงการเชื่อมกันของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

เนื่องจากประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณเป็นประพจน์ เราสามารถเชื่อมประพจน์เหล่านี้ได้ตามหลักการเชื่อมประพจน์ที่ได้ศึกษามาในตอนก่อนๆ เช่น

$for all$ x $left square bracket$ (Px) $right square bracket$ $logical and$ $there exists$ x $left square bracket$ Q(x) $right square bracket$ หรือ
$there exists$ x $left square bracket$ P(x) $right square bracket$ $rightwards arrow$ $for all$ x $left square bracket$ P(x) $right square bracket$ เป็นต้น

สิ่งที่ต้องพิจารณาเพิ่มเติมคือ การนิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ เช่น

พิจารณานิเสธของประพจน์ “ส.ส.ทุกคนสุจริต” ซึ่งประพจน์ที่น่าจะเป็นไปได้คือ ส.ส. ทุกคนไม่สุจริต กับ ส.ส.บางคนไม่สุจริต หากเราพิจารณาตารางค่าความจริงดังนี้

ความเป็นจริง

ส.ส.ทุกคน
สุจริต

ส.ส.ทุกคน
ไม่สุจริต

ส.ส.บางคน
ไม่สุจริต

ส.ส.ทุกคนสุจริต

ส.ส.บางคนสุจริต

เห็นได้ว่า นิเสธของประพจน์ “ส.ส.ทุกคนสุจริต” จะต้องเป็น “ส.ส.บางคนไม่สุจริต” ดังนั้น สรุปได้ว่า $tilde$ $for all$ x $left square bracket$ P(x) $right square bracket$ คือ $there exists$ x $left square bracket$ $tilde$ P(x) $right square bracket$ และพิจารณาในทำนองเดียวกัน
สรุปได้ว่า $tilde$ $there exists$ x $left square bracket$ P(x) $right square bracket$ คือ $for all$ x $left square bracket$ $tilde$ P(x) $right square bracket$

สุดท้ายนี้ การสมมูลกันของประพจน์ สามารถพิจารณาประโยคเปิด P(x),Q(x) ในทำนองเดียวกับประพจน์ p, q เช่น

x $left square bracket$ P(x) $rightwards arrow$ Q(x) $right square bracket$ $identical to$ $for all$ x $left square bracket$ $tilde$ P(x) $logical or$ Q(x) $right square bracket$

$there exists$ x $left square bracket$ P(x) $logical and$ Q(x) $right square bracket$ $identical to$ $there exists$ $for all$ x $left square bracket$ Q(x) $logical and$ P(x) $right square bracket$

ประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

แบบฝึกหัด