ความสมมูลกันของประพจน์

จากตอนที่แล้ว เราพิจารณาข้อความ ~( p  q) ว่ามีความหมายเดียวกับ ~p ~q  หากพิจารณาตารางค่าความจริงของสองประพจน์นี้จะได้

p	q
T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	F	F
F	F	T	T	T	T

จะเห็นว่า ค่าความจริงของทั้งสองประพจน์เหมือนกันทุกกรณี จะเรียกประพจน์ทั้งสองว่า รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน และกล่าวว่า ~(pq) สมมูลกับ ~p~q

สัญลักษณ์   แทน p สมมูลกับ q ด้วย  pq  และ แทน p ไม่สมมูลกับ q ด้วย  pq

ตัวอย่าง

จงพิจารณาว่าประพจน์ (pq)r สมมูลกับ p(qr) พิจารณาตารางค่าความจริงดังนี้

p	q	r
T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	T
T	F	T	T	F	T	T
T	F	F	T	F	F	T
F	T	T	T	T	T	T
F	T	F	T	F	F	F
F	F	T	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F

จะเห็นว่าค่าความจริงไม่เหมือนกันทุกกรณี ดังนั้น
(pq)r p(qr)  ตัวอย่างนี้เป็นข้อสังเกตให้เห็นว่าเราควรใส่วงเล็บในการพิจารณาว่าจะเชื่อมประพจน์แบบใดก่อน แบบใดหลัง แม้ว่าจะมีลำดับในการพิจารณาหากไม่ใส่วงเล็บ แต่ก็อาจจะทำให้สับสนและผิดพลาดได้

ตัวอย่าง

จงแสดงว่า  (pq)(qp) pq

p	q
T	T	T	T	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	F	F
F	F	T	T	T	T

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าตัวเชื่อม “ก็ต่อเมื่อ” มีความหมายเดียวกับ “ถ้า แล้ว” สองประพจน์เชื่อมด้วย “และ”

การพิจารณาความสมมูลกันของประพจน์ด้วยตารางค่าความจริงเป็นพื้นฐานที่ต้องเข้าใจ แต่ในทางปฏิบัติ
มีการสรุปรูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกันไว้เพื่อความรวดเร็วในการพิจารณาที่ควรจำได้ดังนี้

• (p) p
• pq qp
• pq qp
• (pq)  pq
• (pq)  pq
• pq  pq qp
• pq  (pq)(qp)
• p(qr)  (pq)(pr)
• p(qr)  (pq)(pr)