นิเสธของประพจน์

การสร้างประพจน์ตัวสุดท้ายคือ “นิเสธ” ถ้าเรามีประพจน์ใดๆ สามารถพิจารณา นิเสธของประพจน์ได้โดยการใส่คำหรือเปลี่ยนสัญลักษณ์ ให้ประพจน์ใหม่มีความหมายตรงข้ามกับประพจน์เดิม เช่น

โลกไม่กลม เป็นประพจน์นิเสธของ
โลกกลม

กระดาษสาไม่ได้ทำจากต้นไม้ เป็นประพจน์นิเสธของ กระดาษสาทำจากต้นไม้

2.5 เป็นจำนวนอตรรกยะ เป็นประพจน์นิเสธของ 2.5 เป็นจำนวนตรรกยะ

5 > 3 เป็นประพจน์นิเสธของ 5  3

จากการนิยามนิเสธนี้ ทำให้ได้ค่าความจริงของนิเสธของประพจน์ตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์ ดังตารางค่าความจริงนี้

p
T	F
F	T

นอกจากนิเสธของประพจน์เชิงเดียวดังตัวอย่างข้างต้น ยังมีนิเสธของประพจน์เชิงประกอบอีกด้วย เช่น

ไม่ใช่ที่ 9 เป็นจำนวนคู่หรือ 9 เป็นจำนวนเฉพาะ

ประพจน์นี้คือนิเสธของประพจน์ 9 เป็นจำนวนคู่ (แทนด้วย p) หรือ 9 เป็นจำนวนเฉพาะ (แทนด้วย q)  และมีตารางค่าความจริงดังนี้

p	q	pq
T	T	T	F
T	F	T	F
F	T	T	F
F	F	F	T

จากประโยคนี้แปลตามภาษาจะได้ว่าถูกต้อง หากพิจารณาจากตารางจะเห็นได้ว่า ประพจน์นี้มีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อประพจน์ p และ q เป็นเท็จ ซึ่งทั้ง 2 ประพจน์เป็นเท็จ จึงได้ว่าประพจน์นี้เป็นจริงตามที่เราแปลความ

ไม่จริงที่ถ้ามีมนุษย์ต่างดาวแล้วคนจะสูญพันธ์

ประพจน์ก่อนใส่นิเสธคือ ถ้า มีมนุษย์ต่างดาว (แทนด้วย p) แล้ว คนจะสูญพันธ์ (แทนด้วย q) สามารถพิจารณาตารางค่าความจริงได้ดังนี้

p	q	pq
T	T	T	F
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	F

แปลความได้ว่า ประโยคข้างต้นจะเป็นจริงได้ จะต้องมีมนุษย์ต่างดาว และ คนจะไม่สูญพันธ์ (ซึ่งแม้ว่าจะบอกตอนนี้ไม่ได้ว่ามีมนุษย์ต่างดาวหรือไม่ และคนจะสูญพันธ์หรือไม่ แต่ในอนาคตสามารถพิสูจน์ข้อความนี้ได้แน่นอน)

         การพิจารณาประพจน์เชิงประกอบที่ซับซ้อนขึ้นนั้น มีความยุ่งยากตามจำนวนประพจน์ที่ประกอบขึ้นและตัวเชื่อมต่างๆ ดังนั้นในตอนถัดไป เราจะศึกษาถึงความเหมือนกันของประพจน์ เช่น ในตัวอย่างจำนวน 9 นั้น เราอาจจะพิจารณาว่าจริงๆ แล้วข้อความนี้ก็คือ 9 เป็นจำนวนคี่และ 9 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นจริงและแปลความได้ง่ายกว่า