ประพจน์ ประโยคเปิด ตารางค่าความจริง

ตรรกศาสตร์

เป็นวิชาที่ว่าด้วยรูปแบบและวิธีของการให้เหตุผล มีการสรุปผลจากเหตุ การพิจารณาความถูกต้องของการสรุปผล ผ่านภาษาทางตรรกศาสตร์ที่ถูกพัฒนามาอย่างยาวนาน จริงๆ แล้ว ในชีวิตประจำวัน เราใช้ตรรกศาสตร์อย่างมาก ไม่ว่าจะเป็นตัวความรู้วิชาการในวิชาต่างๆ หรือการใช้เหตุผลในชีวิตแต่ละวัน ดังนั้นหากเข้าใจการให้เหตุผลที่ถูกต้อง ก็จะเป็นประโยชน์ทั้งในวิชาเรียนและการใช้ชีวิต ภาษาที่ตรรกศาสตร์ใช้ ประกอบด้วยคำพื้นฐานที่เกี่ยวกับความจริง ดังนั้นในตอนแรกนี้ เราจะทำความรู้กับคำพื้นฐานเหล่านี้

ประพจน์

คือ ประโยคที่ระบุได้ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ โดยจะเรียกความเป็นจริงหรือเป็นเท็จนี้ว่า ค่าความจริง ทั้งนี้บางประโยคอาจจะยังสรุปหรือพิสูจน์ไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ แต่หากทราบชัดเจนว่าสามารถพิสูจน์หาค่าความจริงได้ชัดเจน เราจะเรียกว่าประพจน์เช่นกัน

ตัวอย่าง                   

ดวงจันทร์มีแสงสว่างในตัวเอง
จะเห็นว่า ดวงจันทร์ (ที่เรารู้ว่าพูดถึงดาวดวงไหน) ไม่มีแสงสว่างในตัวเอง ดังนั้น ประโยคนี้เป็นประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ

จังหวัดเชียงใหม่มีดอยสุเทพ
เห็นได้ว่า ในความเป็นจริง มีดอยสุเทพอยู่จังหวัดเชียงใหม่ ดังนั้น ประโยคนี้เป็นประพจน์ ที่มีค่าความจริงเป็นจริง

วันนี้คุณดื่มนมหรือยัง
ประโยคนี้เป็นประโยคคำถาม จึงไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ดังนั้น ไม่เป็นประพจน์

อย่าทำให้คิดไกล
ประโยคนี้เป็นประโยคคำสั่ง ซึ่งไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ จึง ไม่ใช่ประพจน์

สวัสดีวันจันทร์
ประโยคนี้เป็นวลี ที่ไม่มีค่าความจริงใดๆ จึง ไม่ใช่ประพจน์

2+3 เท่ากับ 5
ประโยคนี้สามารถระบุได้ว่าถูกหรือผิด นั่นคือเป็นประพจน์นั่นเอง และมีค่าความจริงเป็นจริง

เซตว่างเป็นสมาชิกของทุกเซต
ประโยคนี้สามารถระบุได้ว่าถูกหรือผิด นั่นคือเป็นประพจน์นั่นเอง และมีค่าความจริงเป็นเท็จ

•  ค่าความจริงที่เป็นจริงแทนด้วย T (true)
• และที่เป็นเท็จแทนด้วย F (false)

ประโยคเปิด

คือ ประโยคที่มีคำที่ไม่ระบุแน่ชัด เช่น สรรพนาม ตัวแปรในคณิตศาสตร์ เป็นต้น ซึ่งทำให้ประโยคดังกล่าว ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ในที่นี้ คำที่ไม่ระบุแน่ชัดนั้น เรียกรวมว่า ตัวแปร และหากตัวแปรดังกล่าว ถูกแทนที่ด้วยคำที่ระบุบุคคล หรือ สิ่งของ หรือ อะไรก็ตามที่ชัดเจน ที่ทำให้สามารถบอกค่าความจริงได้ ประโยคเปิดนั้นจะกลายเป็นประพจน์  โดยจะเรียกเซตของสมาชิกที่พิจารณาให้แทนตัวแปรว่า เอกภพสัมพัทธ์

ตัวอย่าง

ท่านเป็นเคยเป็นนายกรัฐมนตรี
จะเห็นว่า คำว่า ท่าน เป็นสรรพนามที่ไม่ระบุแน่ชัดว่าใคร และหากเราระบุคนแทนคำว่าท่านอย่างชัดเจน เช่น  ธงไชย แมคอินไตย์ เคยเป็นนายกรัฐมนตรี เราจะบอกได้ว่า ประโยคนี้เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ประโยคนี้เป็นประโยคเปิด

x+1=100
ประโยคนี้เป็นสมการที่เราไม่สามารถบอกได้ว่า ข้างซ้ายของเครื่องเท่ากับ มีค่าเท่ากับข้างขวาหรือไม่ แต่เมื่อแทน x ด้วยตัวเลขต่างๆ (สมมติจำนวนจริงเป็นเอกภพสัมพัทธ์) สิ่งที่ได้คือประพจน์ ดังนั้น ประโยคนี้เป็นประโยคเปิด

ฉันรักเธอ
หากเราแทน ฉัน และ เธอ ให้เฉพาะเจาะจงชัดเจนว่าใครรักใคร เราจะได้ประโยคที่บอกค่าความจริงได้ ดังนั้น ประโยคนี้เป็นประโยคเปิด

• 2x+8
  ถึงแม้ว่าเราจะแทน x ด้วยตัวเลข สิ่งที่ได้ไม่ใช่ประโยค ดังนั้น 2x+8 ไม่เป็นประโยคเปิด

ตารางค่าความจริง

การพิจารณาค่าความจริงของประพจน์นั้น สำหรับประพจน์ที่ยกตัวอย่างมา เป็นประพจน์หรือประโยคเดียว ซึ่งเรียกว่า ประพจน์เชิงเดียว จึงบอกค่าความจริงได้ง่าย แต่ในความจริง ประพจน์อาจประกอบด้วยหลายๆ ประพจน์ ทำให้มีความซับซ้อนในการพิจารณาค่าความจริงหรือศึกษาเรื่องอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องในลำดับต่อไป จึงมีการสร้างตารางแสดงค่าความจริงที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งเรียกว่า ตารางค่าความจริง เพื่อความสะดวกและเข้าใจในการศึกษาดังนี้

ให้ p แทนประพจน์ “ในปี 2563 ประเทศไทยมีนักเรียนหญิงชั้นมัธยมมากกว่านักเรียนชายชั้นประถม”

จากประโยคดังกล่าว จะเห็นได้ว่า เราสามารถบอกค่าความจริงของประพจน์ได้ 2 กรณี ได้แก่ ถ้ามีนักเรียนหญิงชั้นมัธยมมากกว่า จะได้ว่าประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริง (T) แต่ถ้ามีนักเรียนหญิงชั้นมัธยมน้อยกว่า จะได้ว่าประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F)  ซึ่งเขียนเป็นตารางแสดงกรณีทั้งหมดของค่าความจริงของ p ได้ดังนี้

ซึ่งในการศึกษาต่อๆ ไป เราสนใจความเป็นไปได้ทั้งหมดของค่าความจริงของประพจน์ โดยยังไม่พิจารณาความเป็นจริง 

เมื่อ P เป็นตัวแทนค่าประพจน์หนึ่ง จะมีความเป็นไปได้แค่ T และ F

สรุปคือ สำหรับประพจน์หรือประโยคเดียวใดๆ จะเขียนตารางค่าความจริงได้แบบข้างต้นนั่นเอง