การแจกแจงปกติและการแจกแจงปกติมาตรฐาน

การแจกแจงปกติ (Normal distribution) และการแจกแจงปกติมาตรฐาน (Standard Normal distribution) เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องที่มีความสำคัญมาก และใช้กันมากที่สุด เพราะข้อมูลส่วนใหญ่ที่ใช้กัน มักจะมีการแจกแจงปกติ หรือ ใกล้เคียงแบบปกติ การแจกแจงนี้

ถ้าตัวแปรสุ่ม $bold italic X$ มีการแจกแจงปกติ โดยมีค่าเฉลี่ย $bold italic mu$ และความแปรปรวน $bold italic sigma to the power of bold 2$ จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $bold italic X bold tilde bold italic N begin bold style left parenthesis mu comma sigma squared right parenthesis end style$ จะได้ฟังก์ชันความน่าจะเป็นของ $bold italic X$ ดังนี้

f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator sigma square root of 2 straight pi end root end fraction e to the power of negative 1 half open parentheses fraction numerator x minus mu over denominator sigma end fraction close parentheses squared end exponent comma negative infinity less than x less than infinity

ลักษณะของการแจกแจงปกติ

ค่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นมีมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ ทุกค่าของ $x open parentheses f open parentheses x close parentheses greater or equal than 0 close parentheses$
เส้นโค้งปกติจะไม่มีความเบ้ หรือกล่าวได้ว่าความเบ้ (skewness) มีค่าเท่ากับศูนย์
เส้นโค้งปกติจะมีแกน $x$ เป็นเส้น asymptote เมื่อลากปลายเส้นโค้งปกติทั้งสองให้ห่างจากค่าเฉลี่ยออกไปเส้นโค้งจะเข้าใกล้แกน $x$ แต่จะไม่ตัดแกน $x$ กล่าวคือ $limit as x rightwards arrow infinity of f open parentheses x close parentheses equals 0$ และ $limit as x rightwards arrow negative infinity of f open parentheses x close parentheses equals 0$ 4
กราฟของฟังก์ชันการแจกแจงปกติจะมีลักษณะเป็นโค้งรูประฆังคว่ำ (bell-shaped curve) โดยจะมี $mu$ และ $sigma$ บอกถึงลักษณะกราฟของการแจกแจง คือเส้นโค้งทั้งสองข้างจะมีลักษณะสมมาตร (symmetrical) กับแกนตั้งที่ลากผ่านค่าเฉลี่ย $mu$ และเปลี่ยนเว้าที่ $mu plus-or-minus sigma$ เช่น ความสูงของเส้นโค้งตรงจุด $x equals mu plus sigma$ จะเท่ากับความสูงของเส้นโค้งตรงจุด $x plus mu minus sigma$ ดังภาพที่ 1(a)
ค่าเฉลี่ย (mean) ค่ามัธยฐาน (mode) และค่าฐานนิยม (mode) ของโค้งปกติ จะมีค่าเท่ากันและจะอยู่ ณ ตำแหน่งตรงกลาง ดังภาพที่ 1(b)
พื้นที่ใต้โค้งปกติทั้งหมด คือ ความน่าจะเป็นของปริภูมิตัวอย่าง ซึ่งมีค่าเท่ากับ 1 หรือ 100% ของทุกจุดบนแกน $x$ ในปริภูมิตัวอย่างนั้น และเนื่องจากเส้นโค้งมีลักษณะสมมาตร จึงทำให้พื้นที่ทางฝั่งซ้าย และฝั่งขวา ของแกนกลางเท่ากัน คือ พื้นที่ฝั่งละ 50% ของพื้นที่ทั้งหมด ดังภาพที่ 1(c)


(a) การแจกแจงปกติที่มี ค่าเฉลี่ย $bold italic mu$ ความแปรปรวน $bold italic sigma to the power of bold 2$	(b) ความสัมพันธ์ของค่ากลาง 3 ค่า	(c) ค่าพื้นที่ความน่าจะเป็นของเส้นโค้งปกติ

ภาพที่ 1 การแจกแจงแบบปกติ

7. ความสูงของส่วนโค้งตามแนวตั้งหาได้จาก $y equals f open parentheses x close parentheses$ เมื่อ $f open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator sigma square root of 2 straight pi end root end fraction e to the power of negative 1 half open parentheses fraction numerator x minus mu over denominator sigma end fraction close parentheses end exponent squared$

8. ความโด่งและตำแหน่งของกราฟการแจกแจงปกติ ขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจงปกติ คือ ถ้าค่าเฉลี่ยต่างกัน ตำแหน่งของกราฟจะต่างกัน กราฟที่มีค่าเฉลี่ยมากจะอยู่ทางขวาของกราฟที่มีค่าเฉลี่ยน้อย และถ้าความแปรปรวนสูง กราฟจะเตี้ยและฐานกว้าง แต่ถ้าความแปรปรวนน้อย กราฟจะโด่งและฐานแคบ

9. พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติ จะอยู่ระหว่าง $x equals a$ และ $x equals b$ จะบอกถึงค่าความน่าจะเป็นระหว่าง $x equals a$ และ $x equals b$ คือ $P open parentheses a less than x less than b close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator sigma square root of 2 straight pi end root end fraction integral subscript a superscript b e to the power of negative 1 half open parentheses fraction numerator x minus mu over denominator sigma end fraction close parentheses squared end exponent d x$

ซึ่งเป็นการยากที่จะหาค่าความน่าจะเป็นจากการหาปริพนธ์ (Integrate) โดยตรงทุก ๆ ครั้ง เนื่องจากในแต่ละการทดลองจะมีค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนแตกต่างกันออกไป จึงมีผู้คิดค้นวิธีการที่จะช่วยให้การหาค่าความน่าจะเป็นง่ายขึ้น โดยการแปลงตัวแปรสุ่มปกติ ให้เป็นตัวแปรสุ่มใหม่ที่เรียกว่า ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน

การแจกแจงปกติมาตรฐาน

การแจกแจงปกติมาตรฐาน เป็นการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ $open parentheses mu equals 0 close parentheses$ และความแปรปรวนเท่ากับหนึ่ง $open parentheses sigma squared equals 1 close parentheses$

ถ้าตัวแปรสุ่ม $bold italic x$ มีการแจกแจงปกติ ที่มีค่าเฉลี่ย $bold italic mu$ และความแปรปรวน $bold italic sigma to the power of bold 2 begin bold style left parenthesis X tilde N open parentheses mu comma sigma squared close parentheses right parenthesis end style$ จะสามารถแปลงค่าใดค่าหนึ่งของ $bold italic X$ ให้เป็นค่าของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานได้ด้วยสูตร

z equals fraction numerator x minus mu over denominator sigma end fraction

เมื่อ $Z$ คือตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐาน (standard normal random variable) ที่มีฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ

f open parentheses z close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator square root of 2 straight pi end root end fraction e to the power of negative z squared over 2 end exponent comma negative infinity less than z less than infinity

เส้นโค้งปกติของตัวแปรสุ่ม

z

จะมีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และค่าความแปรปรวนเป็น 1 ซึ่งจะเรียกว่าเส้นโค้งปกติมาตรฐาน (Standard normal curve)

open parentheses Z tilde N open parentheses 0 comma 1 close parentheses close parentheses

เส้นโค้งปกติมาตรฐานจะแบ่งพื้นที่เป็น 2 ส่วนเท่า ๆ กัน ที่ค่า $z equals 0$ เนื่องจากเส้นโค้งปกติมาตรฐานมีลักษณะสมมาตรที่ค่า $z equals 0$ ซึ่งสามารถเขียนพื้นที่ใต้โค้งปกติมาตรฐานในรูปแบบของความน่าจะเป็นดังนี้

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานทั้งหมด คือ

P open parentheses negative infinity less than z less than infinity close parentheses equals 1

พื้นที่ใต้เส้นโค้งปกติมาตรฐานครึ่งหนึ่งคือ

P open parentheses negative infinity less than z less than 0 close parentheses equals 0.5

หรือ

P open parentheses 0 less than infinity less than Z less than infinity close parentheses equals 0.5

ดังนั้น การหาความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานในช่วง $begin bold style left parenthesis a comma b right parenthesis end style$ คือการหาพื้นที่ใต้โค้งปกติที่ $z$ มีค่าอยู่ระหว่าง $a$ และ $b$ ดังภาพที่ 6.6 ซึ่งการหาค่าความน่าจะเป็นดังกล่าวสามารถหาได้โดย

P open parentheses a less than Z less than b close parentheses equals integral subscript a superscript b z space d z

หรือจะหาค่าโดยการเปิดตารางการแจกแจงปกติมาตรฐานในภาคผนวก (ตารางที่ 6.1) และใช้คุณสมบัติความสมมาตรของพื้นที่เส้นโค้งปกติมาตรฐานเข้ามาช่วย ดังภาพที่ 2

ภาพที่ 2 ความน่าจะเป็นที่ $z$ มีค่าอยู่ระหว่าง $a$ และ $b open parentheses P open parentheses a less than Z less than b close parentheses close parentheses$ ในรูปแบบต่าง ๆ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าความน่าจะเป็นต่อไปนี้

$P open parentheses negative 0.5 less than Z less than 0.5 close parentheses equals 0.1915 plus 0.1915 space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space equals 0.3830$

การแจกแจงปกติ

แบบฝึกหัด