พิสัย (Range) และส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐาน (Standard Deviation)

พิสัย (Range)

พิสัย คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายที่ได้จากผลต่างของค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดของข้อมูล แบ่งการคิดออกเป็น 2 กรณี

กรณีที่ 1 เมื่อข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่

ถ้า $x subscript 1 comma x subscript 2 comma x subscript 3 comma horizontal ellipsis comma x subscript n$ เป็นค่าของข้อมูลชุดหนึ่ง

พิสัย = ค่าสูงสุดของข้อมูล - ค่าต่ำสุดของข้อมูล

หรือ พิสัย = $x subscript m a x end subscript minus x subscript m i n end subscript$

เมื่อ $x subscript m a x end subscript$ = ค่าสูงสุดของข้อมูล

$x subscript m i n end subscript$ = ค่าต่ำสุดของข้อมูล

ตัวอย่าง ค่าสังเกตที่ได้จากข้อมูลชุดหนึ่งมีดังนี้
22 15 30 25 19 18 50 26 20 18

พิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 50-15 = 35
กรณีที่ 2 เมื่อข้อมูลมีการแจกแจงความถี่

พิสัย = ขอบบนของอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุด - ขอบล่างของอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุด

ตัวอย่าง ตารางต่อไปนี้แสดงการแจกแจงความถี่ของข้อมูลจำนวน 100 ข้อมูล

ค่าสังเกต
ความถี่
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 - 100
6
20
25
38
11

ขอบบนอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าสูงสุดคือ 100.5
ขอบล่างอันตรภาคชั้นของข้อมูลที่มีค่าต่ำสุดคือ 50.5
พิสัยของข้อมูลชุดนี้คือ 100.5 – 50.5 = 50

การวัดการกระจายโดยใช้พิสัยนี้เป็นวิธีวัดการกระจายอย่างคร่าวๆ เพราะค่าที่ได้หามาจากค่าของข้อมูลเพียงสองค่าเท่านั้น ค่าอื่นๆ ของข้อมูลไม่ได้นำมาใช้ในการคำนวณหาพิสัยเลย ดังนั้นถ้าค่าของข้อมูลค่าใดค่าหนึ่งมีค่ามากหรือน้อยผิดปกติจากค่าของข้อมูลอื่นๆ ก็อาจมีผลทำให้การวัดการกระจายโดยใช้พิสัยมีค่าสูงกว่าที่ควรจะเป็นจริงมาก การวัดการกระจายโดยใช้พิสัยมีข้อดีที่สามารถหาได้สะดวกและรวดเร็ว ส่วนใหญ่จึงมักใช้วัดการกระจายของข้อมูลในกรณีซึ่งไม่ต้องการความถูกต้องมากนัก

ข้อสังเกต
1. ค่าพิสัยเหมาะสำหรับใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่มีจำนวนน้อย
2. ถ้าข้อมูลเป็นอันตรภาคชั้นเปิด จะหาพิสัยไม่ได้

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายที่ได้จากการหารากที่สองของค่าเฉลี่ยกำลังสองของผลต่างระหว่างค่าของข้อมูลแต่ละค่า จากค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลชุดนั้น โดยใช้สัญลักษณ์ $sigma$ แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และใช้สัญลักษณ์ s แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (โดยที่ $s$ เป็นตัวประมาณค่าของ $sigma$ ) การวัดการกระจายของข้อมูลโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นวิธีที่นักสถิติยอมรับว่าเป็นวิธีที่ใช้วัดการกระจายได้ดีที่สุด ทั้งนี้เนื่องจากการวัดการกระจายโดยวิธีนี้ใช้ข้อมูลทุกๆค่าหรือนำตัวแทนของข้อมูลทุกค่ามาคำนวณ การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบ่งเป็น 2 กรณีคือ

กรณีที่ 1 เมื่อข้อมูลไม่ได้แจกแจงความถี่

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร $open parentheses sigma close parentheses$	ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง $open parentheses s close parentheses$
$begin mathsize 12px style sigma equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to N of end style open parentheses x subscript fraktur i minus mu close parentheses squared over denominator N end fraction end root end style$ หรือ $begin mathsize 12px style sigma equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to N of end style x subscript fraktur i squared minus N mu squared over denominator N end fraction end root end style$	$begin mathsize 12px style s equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to N of end style open parentheses x subscript fraktur i minus top enclose x close parentheses squared over denominator n minus 1 end fraction end root end style$ หรือ $begin mathsize 12px style s equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to n of end style x subscript fraktur i squared minus n top enclose x squared over denominator n minus 1 end fraction end root end style$
เมื่อ $begin mathsize 12px style x subscript fraktur i end style$ แทนข้อมูลที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$ ของประชากร โดยที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$ คือ $begin mathsize 12px style 1 comma 2 comma 3 comma horizontal ellipsis comma N end style$	เมื่อ $begin mathsize 12px style x subscript fraktur i end style$ แทนข้อมูลที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$ ของประชากร โดยที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$ คือ $begin mathsize 12px style 1 comma 2 comma 3 comma horizontal ellipsis comma n end style$
$begin mathsize 12px style mu equals sum from fraktur i equals 1 to N of x subscript i over N end style$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร	$begin mathsize 12px style top enclose x equals sum from fraktur i equals 1 to n of x subscript fraktur i over n end style$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง
$begin mathsize 12px style N end style$ แทนจำนวนทั้งหมดของประชากร	$begin mathsize 12px style n end style$ แทนจำนวนตัวอย่าง

ตัวอย่าง จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลต่อไปนี้ 5, 8, 19, 6, 7, 12, 10, 15

กรณีที่ข้อมูลที่กำหนดให้เป็นของทั้งกลุ่มประชากร
กรณีที่ข้อมูลที่กำหนดให้เป็นของตัวอย่างที่สุ่มจากประชากรกลุ่มหนึ่ง
วิธีทำ
$begin mathsize 11px style mu equals fraction numerator left parenthesis 5 plus 8 plus 19 plus 6 plus 7 plus 12 plus 10 plus 15 right parenthesis over denominator 8 end fraction equals 10.25 sigma equals square root of sum from fraktur i equals 1 to N of x subscript fraktur i squared over N minus mu squared end root equals square root of fraction numerator left square bracket 5 squared plus 8 squared plus 19 squared plus 6 squared plus 7 squared plus 12 squared plus 10 squared plus 15 squared minus open parentheses 8 close parentheses open parentheses 10.25 close parentheses squared right square bracket over denominator 8 end fraction end root equals 4.52 end style$
วิธีทำ
$begin mathsize 11px style top enclose x equals fraction numerator left parenthesis 5 plus 8 plus 19 plus 6 plus 7 plus 12 plus 10 plus 15 right parenthesis over denominator 8 end fraction equals 10.25 s equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to n of end style x subscript fraktur i squared minus n top enclose x squared over denominator n minus 1 end fraction end root equals square root of fraction numerator left square bracket 5 squared plus 8 squared plus 19 squared plus 6 squared plus 7 squared plus 12 squared plus 10 squared plus 15 squared minus open parentheses 8 close parentheses open parentheses 10.25 close parentheses squared right square bracket over denominator open parentheses 8 minus 1 close parentheses end fraction end root equals 4.83 end style$

กรณีที่ 2 เมื่อข้อมูลมีการแจกแจงความถี่

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร $open parentheses sigma close parentheses$	ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง $open parentheses s close parentheses$
$begin mathsize 12px style sigma equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to k of end style f subscript fraktur i open parentheses x subscript fraktur i minus mu close parentheses squared over denominator N end fraction end root end style$ หรือ $begin mathsize 12px style sigma equals square root of fraction numerator begin display style stack sum f subscript fraktur i with fraktur i equals 1 below and k on top end style x subscript fraktur i squared minus N mu squared over denominator N end fraction end root end style$	$begin mathsize 12px style s equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to k of end style f subscript fraktur i open parentheses x subscript fraktur i minus top enclose x close parentheses squared over denominator n minus 1 end fraction end root end style$ หรือ $begin mathsize 12px style s equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to k of end style f subscript fraktur i x subscript fraktur i squared minus n top enclose x squared over denominator n minus 1 end fraction end root end style$
เมื่อ $begin mathsize 12px style x subscript fraktur i end style$ แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$	เมื่อ $begin mathsize 12px style x subscript fraktur i end style$ แทนจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$
$begin mathsize 12px style f subscript fraktur i end style$ แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$	$begin mathsize 12px style f subscript fraktur i end style$ แทนความถี่ของอันตรภาคชั้นที่ $begin mathsize 12px style fraktur i end style$
$begin mathsize 12px style k end style$ แทนจำนวนอันตรภาคชั้น	$begin mathsize 12px style k end style$ แทนจำนวนอันตรภาคชั้น
$begin mathsize 12px style mu equals sum from fraktur i equals 1 to k of fraction numerator f subscript fraktur i x subscript fraktur i over denominator N end fraction end style$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร	$begin mathsize 12px style top enclose x equals sum from fraktur i equals 1 to k of fraction numerator f subscript fraktur i x subscript fraktur i over denominator n end fraction end style$ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวอย่าง
$begin mathsize 12px style N end style$ แทนจำนวนทั้งหมดของประชากร	$begin mathsize 12px style n end style$ แทนจำนวนตัวอย่าง

ตัวอย่าง จากตารางแจกแจงความถี่น้ำหนักของกลุ่มเด็กตัวอย่างจำนวน 100 คน เป็นดังนี้

น้ำหนัก (กิโลกรัม)

จำนวนเด็ก

60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 - 74

วิธีทำ จากสูตร $begin mathsize 12px style s equals square root of fraction numerator begin display style sum from fraktur i equals 1 to k of end style f subscript fraktur i x subscript fraktur i squared minus n top enclose x squared over denominator n minus 1 end fraction end root end style$ สร้างตารางเพื่อการคำนวณ

$begin mathsize 11px style space space น ้ ำหน ั ก left parenthesis ก ิ โลกร ั ม right parenthesis end style$

$begin mathsize 11px style จำนวนเด ็ ก end style$
$begin mathsize 12px style f subscript fraktur i end style$

begin mathsize 11px style x subscript fraktur i end style

begin mathsize 11px style f subscript fraktur i x subscript fraktur i end style

begin mathsize 11px style x squared subscript fraktur i end style

begin mathsize 11px style f subscript fraktur i x subscript fraktur i squared end style

$begin mathsize 9px style 60 space – space 62 end style$

$begin mathsize 9px style 63 space – space 65 end style$

$begin mathsize 9px style 66 space – space 68 end style$

$begin mathsize 9px style 69 space – space 71 end style$

$begin mathsize 9px style 72 space minus space 74 end style$

$begin mathsize 9px style 7 end style$

$begin mathsize 9px style 20 end style$

$begin mathsize 9px style 38 end style$

$begin mathsize 9px style 25 end style$

$begin mathsize 9px style 10 end style$

$begin mathsize 9px style 61 end style$

$begin mathsize 9px style 64 end style$

$begin mathsize 9px style 67 end style$

$begin mathsize 9px style 70 end style$

$begin mathsize 9px style 73 end style$

$begin mathsize 9px style 427 end style$

$begin mathsize 9px style 1 comma 280 end style$

$begin mathsize 9px style 2 comma 546 end style$

$begin mathsize 9px style 1 comma 750 end style$

$begin mathsize 9px style 730 end style$

$begin mathsize 9px style 3 comma 721 end style$

$begin mathsize 9px style 4 comma 096 end style$

$begin mathsize 9px style 4 comma 489 end style$

$begin mathsize 9px style 4 comma 900 end style$

$begin mathsize 9px style 5 comma 329 end style$

$begin mathsize 9px style 26 comma 047 end style$

$begin mathsize 9px style 81 comma 920 end style$

$begin mathsize 9px style 170 comma 582 end style$

$begin mathsize 9px style 122 comma 500 end style$

$begin mathsize 9px style 53 comma 290 end style$

begin mathsize 11px style sum from fraktur i equals 1 to 5 of f subscript fraktur i equals 100 end style

begin mathsize 11px style sum from fraktur i equals 1 to 5 of f subscript fraktur i x subscript fraktur i equals 6 comma 733 end style

begin mathsize 11px style sum from fraktur i equals 1 to 5 of f subscript fraktur i x subscript fraktur i squared equals 454 comma 339 end style

$Error converting from MathML to accessible text$

พิสัย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

แบบฝึกหัด

พิสัย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

พิสัย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

พิสัย และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เนื้อหา

พิสัย (Range) และส่วนเบี่ยงเบนมาตราฐาน (Standard Deviation)

พิสัย (Range)

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

ทีมผู้จัดทำ

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ