ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับสมการกำลังสอง (Quadratic Equations)

สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจงแสดงความสัมพันธ์ระหว่างการบวกและการคูณ สมบัตินี้มีประโยชน์ในการใช้คูณพหุนาม สมบัติดังกล่าวกล่าวว่า

a(b+c)=ab+ac

กล่าวคือหากเราต้องการคูณจำนวนเข้าไปในผลบวก เราจะคูณหรือแจกแจงจำนวนนั้นเข้าไปในแต่ละจำนวนที่อยู่ในผลบวกนั้น เช่น 2(3+5) = 2(3)+2(5)

จากสมบัติการสลับที่การคูณ เราสามารถเขียนสมบัติข้างต้นได้ว่า

b(a+c)=ba+ca

สังเกตว่าเราสามารถมองการลบเป็นการบวกด้วยผลคูณของ -1 เราจึงได้ว่า

a(b-c)=a(b+(-1)c)=ab+(-1)ac=ab-ac

เราสามารถมองสมบัติดังกล่าวเป็นภาพโดยใช้พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม

distribution 1

สมบัติดังกล่าวมีประโยชน์ในการใช้คูณพหุนาม ตัวอย่างเช่น (a+b)(c+d) สามารถคูณได้ดังนี้

(a+b)(c+d) =(a+b)c +(a+b)d = ac+bc+ad+bd

สังเกตว่าเราได้ใช้สมบัติการแจกแจง 2 ครั้ง เราสามารถมองว่าเราจับคู่คูณโดยจับคู่จำนวนในวงเล็บแรกกับจำนวนในวงเล็บหลังในทุกรูปแบบที่เป็นไปได้แล้วบวกผลทั้งหมดที่ได้เข้าด้วยกัน ดังแสดงในภาพด้านล่าง

multiplication of (a+b)(c+d)

หรือเราอาจมองเปป็นภาพได้ดังนี้

distribution 2

ตัวอย่างข้างต้นถือว่าเพียงพอแล้วในการศึกษาภาคตัดกรวย แต่หากนักเรียนสนใจอาจลองฝึกการคูณพหุนามจากตัวอย่างด้านล่างซึ่งจะมีประโยชน์ในการศึกษาเนื้อหาบทอื่น

ทฤษฎีบททวินาม (binomial theorem) ก็มีแนวคิดมาจากหลักการคูณพหุนามข้างต้น

(a+b+c)(d+e+f)

(a+b)(c+d)(e+f) (นักเรียนสามารถคูณสองวงเล็บแรกก่อนแล้วจึงคูณวงเล็บสุดท้าย หรือนักเรียนอาจใช้วิธีจับกลุ่มสามโดยสมาชิกแต่ละตัวในกลุ่มมาจากแต่ละวงเล็บ)

เฉลยเป็นรูปด้านล่าง

multiplication 2

multiplication 3

สมการกำลังสอง 2 ตัวแปร (x และ y) คือสมการในรูป

$A x squared plus B x y space plus C y squared plus D x space plus E y plus F space equals space 0$

โดยที่ A,B,C,D,E,F เป็นตัวเลขค่าคงที่(ซึ่งเราจะเรียกว่าสัมประสิทธิ์) สังเกตว่าถ้าสัมประสิทธิตัวใดเป็น 0 เทอมนั้นจะหายไป

สังเกตว่าในแต่ละเทอมผลรวมของกำลังของตัวแปร x และ y จะไม่เกิน 2

ตัวอย่างสมการกำลังสอง 2 ตัวแปร $x squared plus 2 x y plus 3 y squared minus 8 x minus 9 y plus 1 equals 0 space$ , $x to the power of 2 space end exponent minus y squared space equals 1 space$

การจัดรูปกำลังสมบูรณ์ การจัดรูปแบบกำลังสองสมบูรณ์มีประโยชน์ในการจัดรูปแบบสมการกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานและง่ายต่อการวิเคราะห์ การจัดรูปกำลังสมบูรณ์คือการเขียนพหุนามกำลังสองให้อยู่ในรูปของกำลังสองของพหุนามกำลังหนึ่ง นั่นคือ

$a left parenthesis x plus h right parenthesis squared plus k$ โดยที่ a,h,k เป็นค่าคงที่ (1)

การจัดรูปกำลังสมบูรณ์ ใช้แนวคิดจากเอกลักษณ์ต่อไปนี้ซึ่งสามารถแสดงโดยสมบัติการแจกแจง หรือจากการแทนค่า y=h/2 ในสูตร $left parenthesis x plus y right parenthesis squared equals x squared plus 2 x y plus y squared$

$left parenthesis x plus h over 2 right parenthesis squared equals x squared plus h x plus h squared over 4$ (2)

ขั้นตอนการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ กระทำได้ดังตัวอย่างต่อไปนี้ วิธีนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกอัน

ตัวอย่าง เขียน $2 x squared plus 14 x minus 5$ ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ มีขั้นตอนดังนี้

ทำสัมประสิทธิ์ของ $x squared$ ให้เป็น 1 โดยแยกสัมประสิทธิ์ของ $x squared$ ออกมา

$2 left parenthesis x squared plus 7 x minus 5 over 2 right parenthesis$

ค่า a ในสูตร (1) จึงมีค่าเท่ากับ 2 นั่นเองและพหุนามในวงเล็บมีสัมประสิทธิของ $x squared$ เป็น พหุนามในวงเล็บคือพหุนามที่เราจะพิจารณาในขั้นตอนถัดไป

2. ดูสัมประสิทธิ์ของ x ในที่นี้คือ 7 (สัมประสิทธิ์นี้คือค่า h ในสมการ (2) นั่นเอง )

เราต้องการค่า $h squared over 4$ เพื่อให้เราเขียนเป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร (2) เราจึงคำนวณ $left parenthesis h over 2 right parenthesis squared equals h squared over 4$ ในที่นี้คือ $left parenthesis 7 over 2 right parenthesis squared equals 49 over 4$ แต่เมื่อเราบวกเข้าด้วย $49 over 4$ แล้วเราก็ต้องลบออกชดเชยเพื่อให้ค่าไม่เปลี่ยน (เทคนิคการบวกเข้าและลบออก)

$2 left parenthesis x squared plus 7 x minus 5 over 2 space plus 49 over 4 minus 49 over 4 right parenthesis$

เราจะจัดกลุ่มจำนวนดังกล่าวเป็นสองส่วนดังนี้

$2 left parenthesis x squared plus 7 x minus 5 over 2 plus 49 over 4 minus 49 over 4 right parenthesis$

เทอมสีน้ำเงินเป็นส่วนที่เราจะเก็บไว้ในวงเล็บและจะทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยสมการ (2) ส่วนเทอมสีแดงเราจะแยกออกมาจากวงเล็บโดยต้องไม่ลืม 2 ที่คูณอยู่ด้านหน้า

$2 left parenthesis x hat 2 plus 7 x plus 49 over 4 right parenthesis minus 2 left parenthesis 5 over 2 plus 49 over 4 right parenthesis equals 2 left parenthesis x plus 7 over 2 right parenthesis squared minus 59 over 2$

กระบวนการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์จึงเสร็จสิ้นสมบูรณ์

สรุปการจัดกำลังสองสมบูรณ์ (เป็นการสรุปขั้นตอน ไม่จำเป็นต้องท่องจำ เพียงแต่หัดทำตามตัวอย่างขั้นต้นและทำแบบฝีกหัดบ่อยๆ ก็จะจำและทำได้เอง)

$a x squared plus b x plus c$

1.แยก a (สัมประสิทธิ์ของ x² ) ออกมาข้างนอกวงเล็บ
$a left parenthesis x squared plus b over a x plus c over a right parenthesis$

2.ดูสัมประสิทธิ์ของ x (ในที่นี้คือ b/a) หารสัมประสิทธิ์นั้นด้วย 2 แล้วยกกำลังสอง (ในที่นี้คือ (b/2a)² =b²/4a²บวกเข้าและลบออกด้วยจำนวนที่ได้นี้

$a left parenthesis x squared plus b over a x plus fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction minus fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction plus c over a right parenthesis$

3. แยกส่วนที่เราลบออก (คือ $negative fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction$ ) และส่วนที่เป็นค่าคงที่ของสมการ (คือ $plus c over a$ ) ออกมานอกวงเล็บ

ส่วนที่อยู่ในวงเล็บเราสามารถจัดเป็นรูปกำลังสอง ส่วนส่วนที่อยู่นอกวงเล็บจะเป็นค่าคงที่

$a left parenthesis x squared plus b over a x plus fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction right parenthesis minus fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction plus c over a equals space a left parenthesis x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction right parenthesis squared minus fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction plus c over a$

ซึ่งอยู่ในรูป a(x-h)²+k ตามต้องการ

ในการศึกษาภาคตัดกรวย เราจะทำกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร x และ y แต่ในกรณีนี้เราสามารถทำแยกในส่วนของตัวแปร x และส่วนของตัวแปร y โดยใช้เทคนิคข้างต้น

ตัวอย่าง $x squared plus 2 x plus 3 y squared plus 4 y plus 1 equals 0$

$left parenthesis x squared plus 2 x plus 1 right parenthesis space minus 1 plus 3 left parenthesis y squared plus 4 over 3 y plus 4 over 9 right parenthesis minus 4 over 9 plus 1 equals 0 left parenthesis x plus 1 right parenthesis squared plus 3 left parenthesis y plus 2 over 3 right parenthesis squared equals 4 over 9$

ซึ่งเมื่อนักเรียนได้ศึกษาในแต่ละหัวข้อในวิชาภาคตัดกรวยก็จะได้มีโอกาสฝึกและใช้เทคนิคดังกล่าวนี้

การแก้สมการกำลังสอง

ในหัวข้อนี้เราจะทบทวนกาแก้สมการกำลังสองโดยวิธีการจัดรูปเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งมีประโยชน์ในการจัดรูปสมการกำลังสองให้แก้ง่ายขึ้น สมการกำลังสองคือสมการในรูป

$a x squared plus b x plus c equals 0$

เราทำกระบวนการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ตามกระบวนการที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ขั้นแรกเราดึงตัวร่วม a ออกมา

$a left parenthesis x squared plus b over a x plus c over a right parenthesis equals 0$

เนื่องจากเราสนใจในกรณีที่่ $a not equal to 0$ (ถ้า $a$ เป็นศูนย์ สมการของเราจะไม่ใช่สมการกำลังสอง) เราจึงสมารถหารด้วย $a$ ทั้งสองข้าง

$x squared plus b over a x plus c over a equals 0$

จากกระบวนการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์ที่กล่าวไว้ข้างต้น เราดูสัมประสิทธิ์ของ x นั่นคือ b/a เราบวกเช้าและลบออกด้วย $open parentheses fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared equals fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction$ เราจึงได้ว่า

$open parentheses x squared plus b over a x plus fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction close parentheses minus fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction plus c over a equals 0$

ย้ายเทอมที่อยู่ไม่อยู่ในวงเล็บไปฝั่งขวา ส่วนที่อยู่ในวงเล็บเราเขียนเป็นกำลังสองได้

$open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses squared equals fraction numerator b squared over denominator 4 a squared end fraction minus c over a equals fraction numerator b squared minus 4 a c over denominator 4 a squared end fraction$

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง อย่าลืมว่าเมื่อถอดรากที่สองเราจะได้สองรากคือรากบวกและรากลบ

$open parentheses x plus fraction numerator b over denominator 2 a end fraction close parentheses equals plus-or-minus fraction numerator square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction$

เราจีงได้สูตรสำหรับการหาค่า x

$x equals fraction numerator negative b plus-or-minus square root of b squared minus 4 a c end root over denominator 2 a end fraction$

จากสูตรนี้เราจึงได้ข้อสังเกตเกี่ยวกับจำนวนคำตอบของสมการข้างต้นดังนี้

ถ้า b²-4ac > 0 เราจะได้ว่าสมการดังกล่าวมีรากสองราก
ถ้า b²-4ac=0 เราจะได้ว่าสมการดังกล่าวมีรากรากเดียว เราอาจกล่าวว่าสมการดังกล่าวมีสองรากที่ซ้ำกัน
ถ้า b²-4ac < 0 เราจะได้ว่าสมการดังกล่าวไม่มีคำตอบ

ตัวอย่าง จงหาค่า k ที่ทำให้กราฟของสมการ $y equals x squared plus 2 x plus 1 space$ และ $y equals 2 x squared plus 3 x plus k$ มีจุดตัดกันเพียงจุดเดียว

แนวคิด หากกราฟทั้งสองตัดกันที่จุดตัด (a,b) เราจะได้ว่า (a,b) ต้องอยู่บนกราฟทั้งสองอันและสอดคล้องกับทั้งสองสมการ เราจึงได้ว่า $b equals a squared plus 2 a plus 1 space$ และ $b equals 2 a squared plus 3 a plus k$ เราจึงได้ว่า

$a squared plus 2 a plus 1 space equals 2 a squared plus 3 a plus k$

จัดรูปจะได้ว่า

$0 equals a squared plus a plus 1 minus k$

จากข้อสังเกตข้างต้น สมการนี้จะมีรากรากเดียวก็ต่อเมื่อ $left parenthesis 1 right parenthesis squared minus 4 left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis 1 minus k right parenthesis equals 0$ เมื่อแก้สมการจะได้ว่า $k equals 3 divided by 4$

สำหรับสมการกำลังสามและสมการกำลังสี่ เราก็มีกระบวนการสูตรที่จะใช้หารากคล้ายๆกับสูตรข้างต้นแต่กระบวนการจะยุ่งยากกว่ามาก อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ชื่อ Galois ได้พิสูจน์ว่าไม่มีสูตรดังกล่าวสำหรับสมการกำลังห้าขึ้นไป ตัวอย่างเช่น สมการ $x to the power of 5 plus 5 x plus 1 equals 0$ Galois ได้เสียชีวิตจากการดวลปืนเมื่ออายุเพียง 20 ปี

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับสมการกำลังสอง (Quadratic Equations)

ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับสมการกำลังสอง (Quadratic Equations)

เนื้อหา

บทเรียน

ติดต่อเรา

ติดตามเรา

เราในสื่ออื่นๆ